历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案.pdfVIP

老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。——唐·王勃 上海交通大学 2007 年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题 5 分，共 50 分) 1．设函数f (x) 满足2f (3x ) f (2 3x ) 6x 1 ，则f (x )  ． 2．设 均为实数,且 a b ，则 1 1 ． a,b, c 3 6 4   a b 3 ． 设 a 0 且 a 1 ， 则 方 程 ax 1x 2 2x 2a 的 解 的 个 数 为 ． 4．设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 ． 5．11!2 2!3 3! n n ! ． M N 6．设不等式x (x 1) y (1y ) 与x 2 y 2 k 的解集分别为 和 ．若M N , 则 k 的最小值为 ． 7 ． 设 函 数 f (x )  x ， 则 x S 12f (x ) 3f 2 (x )  nf n1 (x )  ． 8 ．设 a 0 ，且 函数 f (x ) (a cos x )(a sin x ) 的最 大 值 为 25 ，则 2 a  ． 9．6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的 先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时 为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数f (x ) 2x 1 ，对于n 1,2, ，定义f (x ) f (f (x )) ，若 1 x 1 n1 1 n f (x ) f (x ) ，则f (x)  ． 35 5 28 二、计算与证明题(每小题 10 分，共 50 分） 11．工件内圆弧半径测量问题． 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？——《罗贯中》 为测量一工件的内圆弧半径 ，工人用三个半径均为 的圆柱形量棒 R r O , O , O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 1 2 3 水平面到中间量棒 顶侧面的垂直深度 ， O h 2 试写出 用 表示的函数关系式，并计算当 R h