高等代数教学课件电子教案全套课件一.pptx

第一章 多项式;§1.1 数环和数域; 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。; 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。 ;则S是一个数环。;定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充;问题：;8、一个数域必包含哪两个元素？;要检验几种运算？;;§1.3 整除性理论;一、多项式整除的概念;则 ;性质3：;证：;;;;推论1：;例1.3.2：;;;§1.4 多项式的最大公因式;一、两个多项式的最大公因式;问题：;;;;;;例1.4.1：;;性质3：;;例1.4.2 设;§1.5 多项式的分解; 在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？;定义1.5.1;由定义可得：;;;证（归纳法）：;;;;首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，;;;例1.5.2：;§1.5 重因式;;要求;;定理1.6.1：;;;;于是：;;;解：;;§1.7 多项式函数与多项式的根;一、多项式函数;;问题1、;;;;;三、多项式的根;定理1.7.3（根的个数定理）：;证二：对零次多项式结论显然成立，;;作函数 ;由已知条件得线性方程组：;利用Lagrange插值公式可得：;四、多项式相等与多项式函数相等的关系;故这两个多项式函数相等；;§1.8 复数域和实数域上的多项式;一、C上多项式;;上都能分解成一次因式的乘积，即;C上多项式的根与系数关系：;得根与系数的关系为：;;;二、实数域上的多项式;因此多项式：;;;;例1.8.2：;;;§1.8 有理系数多项式;;引理（高斯定理）：;;证：充分性显然。;; C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。;证（反证法）：;;;Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。;二、整系数多项式的有理根;即 ;;定理1.9.4：;§1.10 多元多项式;;就称为n元多项式，简称多项式，;例如：; 相乘：; 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设;; 结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。;;应该注意的是，;证明：;;推论1.10.1：; 两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。;证明：;由推论1.10.2：;;;证明思路：;;§1.11 对称多项式; 对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系数的关系谈起。;;;例如：;由定义可以推出：;;定理1.11.1：;;;;;;;1、（5）式是一个对称多项式，并且是齐次的。;这些首项必须满足以下条件：;的幂的乘积，列表如下：;例如对例2，可以先取;再对每一齐次多项式应用待定系数法。;;§1.2 一元多项式的定义和运算;一、多项式的概念;问题：; 高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：;定义2：;例1.2.2：;;;多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：;下面证明多项式乘法满足结合律。;;证：设;推论1：若;定义5：;§2.1 引言;§2.1 引言;若 ;若 ;;是否也有类似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？;§2.2 排列;第二章 行列式;反序的定义：;对换的定义：;假如;定理2.2.1：任意两个n元排列可经一系列对换互化。;例如，;;就把排列（3）化为排列（4）。;这S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有T个偶排列，故;§2.3 n阶行列式的定义;问题：如何定义n阶行列式？;每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。;特点：（1）共有3！项的代数和；;取自不同行不同列的n个元素乘积; 序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。;例2.3.2：计算行列式;;例2.3.5