李贤平-概率论基础-Chap4(高等教学).pptVIP

第四章 数字特征与特征函数 第一节 数学期望第二节 方差、相关系数、矩第三节 母函数(略）第四节 特征函数第五节 多元正态分布(略）1高级教育 一、数学期望的概念 数字特征是由随机变量决定的一些常数，期望与方差是其中最重要的两个特征，它们只能刻化随机变量的部分性质。 数学期望(Mathematical Expectation)是一个随机变量的平均取值，是它所有可能取值的加权平均，权是这些可能值相应的概率。§4.1 数学期望 2高级教育 例4.1.1 一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？成绩(环数)甲的概率乙的概率 80.10.2 90.30.510 0.6 0.3解. 以 ξ、η 分别表示甲、乙射击一次的结果， ξ 的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是 Eξ = 8×0.1 + 9×0.3 + 10×0.6 = 9.5 (环)， 同理，乙射击一次的平均成绩是 Eη = 8×0.2 + 9×0.5 + 10×0.3 = 9.1 (环)。 □3高级教育 二. 离散随机变量的数学期望如果ξ 的分布律为级数绝对收敛的条件是为了保证期望不受求和顺序的影响。 数学期望反映了随机变量取值的中心趋势。4高级教育 几种重要的离散型分布的期望：(1) （0—1）分布：(2) 二项分布：5高级教育 (3) 泊松分布：(4) 几何分布：6高级教育 例 随机变量 取值 ，对应的概率为 ， 则由于 ，因此它是概率分布，而且但是因此， 的数学期望不存在。 从上面的例子可以看出，其中重要的离散型分布的参数都可由数学期望算得，因此它是一个重要的概念。7高级教育 例4.1.3 某人有 10 万元，如果投资于一项目将有 30%的可能获利 5 万，60% 的可能不赔不赚，但有10%的可能损失全部 10 万元；同期银行的利率为 2% ，问他应该如何决策？解. 以 ξ 记这个项目 的投资利润。利润 5 0 - 10概率 0.3 0.6 0.1平均利润为： Eξ = 5×0.3 + 0×0.6 + (- 10)×0.1 = 0.5，而同期银行的利息是 10×0.02 = 0.2 ，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。8高级教育 例4.1.4 假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有 3 张假币的 10 张 100 元纸币中随机地抽出 4 张。如果全是真的，则赢得这 400元；如果这 4 张中至少有一张假币，只输 100 元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？解. 一个公平合理的赌博或博弈规则必须是双方的平均获利都等于 0。 以ξ 记每局赌博中庄家的获利 (可以为负) ，则ξ 所有可能的取值是 - 400 与 100 。9高级教育 15400 500 50□在古典概率模型中已经得到ξ 的分布律xkpk- 400 ? 6100 ? 6 ξ 的数学期望，即庄家在每局赌博中 的平均获利为： Eξ = (- ?? ) + ? = ? 6 6 3 这种赌博对庄家有利，平均每一局他将净赚 16.67 元。10高级教育 三. 连续随机变量的数学期望如果ξ 的密度函数 p(x) 满足则连续随机变量ξ 的数学期望是积分：否则称为这个随机变量的期望不存在11高级教育 几种常用连续型分布的期望：(1) 均匀分布12高级教育 (2)指数分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故数学期望不存在。13高级教育 (4)正态分布14高级教育 (5) Gamma分布15高级教育 四.一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义 若随机变量?的分布函数为F(x)，类似于连续型的场合，作很密的分割 ，则? 落在 中的概率等于 ，因此?与以概率 取值 的离散型随机变量近似，而后者的数学期望为 注意到上式是Stieltjes积分 的渐近和式。16高级教育 数学期望的一般定义： 如果ξ 的分布函数 F(x) 满足 则ξ 的数学期望定义成Stieltjes 积分：否则称这个随机变量的期望不存在.17高级教育 Riemann积分的推广: Stieltjes积分(1) F(x)在xk 处具有跳跃度pk 时,化为级数(2) F(x)存在导数p(x) 时,化为Riemann 积分18高级教育 设随机