第5讲-蒙特卡洛方法的应用.pptVIP

实验目的;一、MC 的起源和发展 ;事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。这个著名的Buffon试验是Monte Carlo方法的最早的尝试！;历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。不过呢，他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。;Buffon试验 ;Buffon试验;function piguji=buffon(llength,mm) %llength 是针的长度 %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(0,0.5,1,mm); phi= unifrnd(0,pi,1,mm); for ii=1:mm if (xrandnum(1,ii)=(llength*sin(phi(1,ii))/2)) frq=frq+1; end end piguji=2*llength/(frq/mm); buffon(.6,1000) piguji = 3.1662 buffon(.6,10000) piguji = 3.1072 buffon(.6,100000) piguji = 3.1522 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1386 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1451 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1418 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1448 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1405 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1394;二、MC 的原理;思路;3、 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4、 按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5、 统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。 6、 必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。 ;收敛性: 由大数定律, Monte-Carlo模拟的收敛是以概率而言的． 误差: 用频率估计概率时误差的估计，可由中心极限定理，给定置信水平 的条件下，有： 模拟次数:由误差公式得 ;三、MC的应用举例 ;1、定积分的MC计算;在计算积分上，MC的实用场合是计算重积分 其中 是 维空间的点，当 较大时，用MC方法比一般的数值方法有优点，主要是它的误差与维数 无关。;;随机投点法 ;那么我们可以得到 的一个估计 具体试验步骤为 ;求解定积分的算例;function result=sj(a,b,m,mm) fq=0; x= unifrnd(a,b,1,mm); y = unifrnd(0,m,1,mm); for ii=1:mm if (cos(x(1,ii))+2=y(1,ii)) fq=fq+1; end end result=fq*m*(b-a)/mm;注1 随机投点法的思想简单明了，且每次投点结果服从二项分布，故 ，其中 注2 可证 是 的无偏估计。若用估计的标准差来衡量其精度，则估计 的精度的阶为 。 注3 这里，定积分的解，就对应我们选定的随机变量的概率值。 ;例 ? 的计算; sjtdf_pi1(1000) piguji = 3.0520 sjtdf_pi1(10000) piguji = 3.1204 sjtdf_pi1(100000) piguji = 3.1296; sjtdf_pi2(100) piguji = 3.2000 sjtdf_pi2(1000) piguji = 3.2120 sjtdf_pi2(10000) piguji = 3.1260 sjtdf_pi2(100000) piguji = 3.1373;样本平均值法 ;设 是来自 的随机数，则