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图论-数学和艺术课程中反复出现的主题 1.介绍 在大学数学艺术课程中，在人文专业的数学课程中，在高中学 员的课后活动中，以及在中学员的拓展活动中，都会提到图论。在 这样的环境中，有机会给学员一瞥数学思想的多样性和与数学相关 的主题的相互关联性。学员们常常把数学分解成不同的课程和主 题，这些课程和主题被视为不同的思维方式。主题在他们的学习过 程中出现，然后从他们的脑海中消失。通过选择包含重复线索和强 化共同主题的模块，教育者可以很好地消除这种误解。此外，将数 学思想应用于艺术相关主题的多种多样的本质赋予了数学抽象的本 质和力量更广泛的意义。本文介绍了四个主题，它们可以整合到大 学水平的数学和艺术课程中，也可以在大学预科水平的强化课程中 独立使用。 2.凯尔特结 凯尔特结和链环装饰着珠宝、地毯、手稿、雕刻，甚至皮肤。 学员可以学习使用图形作为构建自己的结设计的结构，使用 面图(a)开始，在图的每条边上放置一个纽结交叉的指示(b)。(注 意，结交叉有两种可能的方向，如图2所示。如图1(b)所示，应 在图形的所有边上使用相同的方向。)每次交叉都会产生四个“散 线头”,现在将它们连接在一起形成一个结。选择这些散线头中的 一个，注意它将指向它所在的边的一端。沿着图的边缘朝这个方向 走(不要穿过它们),直到你到达另一个指向你的自由端。这是你应 该连接的终点。继续以这种方式，直到没有更多的散线头结束 (c)。最后，可能会把线条做平滑处理，并擦除底层图形(d)。这里 我们有一个很好的数学抽象的例子：在创建起始图时，我们抽象出 了期望的结的结构。在使用图表作为构建结的蓝图后，我们隐藏 它，并将焦点放在结本身上，清理它并修饰它。 (a) (b) (c) (d) 图1从平面图构造纽结。 图2纽结相对于图的边交叉的两种可能的方向。 为了更好地理解图形编码纽结结构的方式，学员可以颠倒这个过 程，从纽结图开始，产生基本的平面图形，如图3所示。首先， 请注意，有一种独特的方式来涂色纽结图的区域，使得外部区域被 涂色，并且相同颜色的区域不相邻。以这种方式涂色后，在每个非 涂色区域放置一个顶点。在每个交叉点上放置一条边，连接对应于 在交叉点相遇的两个区域的两个顶点。每个交叉点都是图4所示 的两种类型之一。每个交叉点对应的边可以将这些信息编码如下： 如果交叉点如图4(a)所示，用实线画边，如果交叉点如图4(b)所 示，用虚线画边。 图3涂色纽结图和相应的平面图。 (a) (b) 图4阴影纽结图中的两种交叉。 由于平面图用于构造纽结，这是引入欧拉公式V-E+F=2的绝佳机 会，其中平面图的面数F包括外表面。欧拉公式将在下面的第3 节和第4节中发挥重要作用。 对于大型图形，上面概述的手工绘制结的过程可能很耗时。幸运的 是，有几个很好的绳结软件可供选择。例如，Knotsbag [2]生成 作为小程序在线获得。 12 7 8 8 5 2 18 β 15 16 10 9 图5用Knotsbag制作的结。 Mercat编制了一个全面的凯尔特结网站[4],上面有一些历史，上 述程序的详细说明和练习。该网站还描述了更先进的技术，如使用 双重图形创建封装的“可堆叠”结，以及创建适合合并到人和动物 的绘图中的结的说明。这是一个数学和艺术课程的大学员独立项目 工作的极好资源。 高中生也喜欢打结。他们很惊讶自己能这么快就学会构造如此复杂 的设计。数学抽象使我们能够解决表面上看起来太难的问题。 凯尔特结可以用来介绍结理论，有许多有趣的与结相关的活动适合 所有水平的学员(例如，见[5],[6]和[7])。 3柏拉图立体 学员可以很容易地建立自己的柏拉图立体模型。软糖