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生物信息学数学模型第1页/共52页 2本课目录概述差分方程微分方程应用E-Cell第2页/共52页 3一、概述第3页/共52页 4数学模型的例子(米氏方程)酶促反应机制根据稳态/定态(steady state)假设和反应动力学推导出米氏方程第4页/共52页 5为什么要使用数学模型？通常利用数学模型来作为所关心的系统工作原理的假设通过模拟(simulation)的结果可以证明假设是否正确 ? 理解生命现象的机制正确的模型可以进一步预测生命系统的其他未知特性 ? 预言试验结果,指导实验设计,减少实验成本善于在短时间内完成复杂的实验,甚至某些当前实验条件尚无法达到的第5页/共52页 6定义、构成元素数学模型(mathematical model)是用数学语言来描述一个系统的抽象模型例如一个群体增长模型这个数学语言通常是包含一些方程这些方程(equation)用来建立一些变量之间的关系这些变量(variable)通常代表了系统的某些属性(property)如某群体的大小第6页/共52页 7构成元素关系系统属性关系/规律数学模型变量方程第7页/共52页 8参数模型还包括参数(parameter)参数通常是常数,用于描述系统的某个相对不变的属性如某群体的生殖率(以群体大小为变量)参数在模型中相对于变量为从属地位一个属性是变量还是参数没有明显界限,由具体问题的性质决定如果以生殖率为研究对象(变量),那么生殖率就不是参数,而是变量第8页/共52页 9数学模型的分类(1)静态的(static)和动态的(dynamic)区别在于是否考虑时间动态模型常由差分方程或微分方程来表示确定性的(deterministic)和随机性的(stochastic)看是否唯一参数决定唯一结果注意: 确定性模型可能产生貌似随机的结果,如混沌(chaos)第9页/共52页 10数学模型的分类(2)(时间)离散的(discrete)和连续的(continuous)如差分方程(离散)和微分方程(连续)线性(linear)和非线性的(nonlinear)y=ax+b (线性)y=ax2+bx+c (非线性)对于方程组来说,只有全部方程都是线性的,该模型才是线性模型第10页/共52页 11数学模型的分类(3)集总/中(lumped)参数和分布(distributed)参数模型看参数是(集总)否(分布)均一分布分布参数模型常用偏微分方程表示第11页/共52页 12一个离散模型的具体例子生命游戏(life game)属于细胞自动机(cellular automaton)的一种给定某初始条件和繁衍条件根据这些条件,观察群体的演化定态,周期解,混沌…演示…第12页/共52页 13二、差分方程(difference equation)第13页/共52页 14例: 逻辑斯蒂映射(logistic map)方程Xn+1=rXn(1-Xn)Xn是变量,范围[0,1],代表某群体中第n代的个体数(已归一化)r是参数,表示增长率如果知道前一项Xn,我们就可以推出后一项Xn+1所以差分方程也叫递归(recursion)第14页/共52页 15解差分方程要解这个差分方程,或者说进行模拟(run a simulation),需要知道参数值(parameter values)、(变量)初值(initial values)令 r = 1.0 X0 = 0.5这样可以通过迭代(iteration)来求解差分方程第15页/共52页 16不同参数的效果(1)周期一周期一周期二第16页/共52页 17不同参数的效果(2)混沌(Chaos)周期四…第17页/共52页 18迭代对于本例(参数r=1.0)X0=0.5X1=0.25X2=0.1875X3=0.152344X4=0.129135X5=0.112459X6=0.099812…用Excel操作、三维演示…第18页/共52页 19换个方式演示迭代过程用笔和尺第19页/共52页 20混沌的初值敏感性(sensitivity to initial conditions)第20页/共52页 21分岔图(bifurcation diagram)就是横轴为参数、纵轴为变量的图,显示整个系统随参数的变化第21页/共52页 22丰富多彩的分岔图 – 前分岔、后分岔后分岔(r0)前分岔(r0)第22页/共52页 23丰富多彩的分岔图 – 自相似前分岔局部放大程序、动画演示…第23页/共52页 24丰富多彩的分岔图 – 三维前后分岔、r为复数第24页/共52页 25三、微分方程(differential equation)第25页/共52页 26(微分基础)微分/导数就是速度从导数的定义开始Δx?0导数表示在x的某一点的切线的斜率,也就是变化率变化率就是速度第26页/共5