数值计算的资料.pptxVIP

数值计算的资料第1页/共51页 Wenjian Yu2第七章 数值积分与数值微分?第2页/共51页 3数值积分的基本概念 第3页/共51页 4数值积分目的与用途经典问题: 算几何形体的面积、体积，力学中 物体的重心位置例:铝制波纹瓦的长度问题由一块平整的铝板压制而成. 若每个波纹的高度(自中心线)为1英寸, 周期为 2?英寸, 做4英尺长波纹瓦需多长铝板?????第二类椭圆积分, 无法解析求出 !????第4页/共51页 5数值积分基本思想???. . .??积分系数积分节点希望用较少的计算量得到较准确的结果第5页/共51页 6插值型求积公式?????????中矩形公式梯形公式第6页/共51页 7积分余项与代数精度??反映了计算的截断误差插值余项的积分衡量求积公式准确度的另一个指标注意: 对某些情况，代数精度并不是越高越好第7页/共51页 8积分余项与代数精度????(至少0次代数精度)它至少有n次代数精度即插值型求积公式第8页/共51页 9求积公式的收敛性与稳定性?(一系列求积公式的性质)?????积分问题一般不太敏感???第9页/共51页 10求积公式的收敛性与稳定性??这是控制数值计算误差能达到的最佳情况??????要尽量寻求稳定的求积公式第10页/共51页 11牛顿-柯特斯公式第11页/共51页 12Newton-Cotes公式??就是n阶牛顿-柯特斯公式???n=1, 1/2, 1/2 n=2, 1/6, 2/3, 1/6 ?n=4, 7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90 Cotes系数表?一系列求积公式便于使用第12页/共51页 13Newton-Cotes公式?n=1, 1/2, 1/2 n=2, 1/6, 2/3, 1/6 ?n=4, 7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90 ?n=8, Cotes系数表思考题???梯形公式Simpson公式Cotes公式中矩形公式可看成是n=0时的特例. 例题(板书)第13页/共51页 14Newton-Cotes公式??????关键看积分:???????(n阶公式至少有n次代数精度)一般不用n=3对应的N-C公式第14页/共51页 15低阶N-C公式的积分余项???不保号, 无法用积分中值定理?2?详细过程自己看书第15页/共51页 16稳定性、收敛性?n=8, 实际只使用n8的偶数阶N-C公式, 也看出代数精度不是越高越好第16页/共51页 17复合求积公式第17页/共51页 18复合求积公式?(composite quadrature)?积分误差:n增大,误差减小??仍是机械求积公式第18页/共51页 19复合求积公式??2阶准确度???第19页/共51页 20复合求积公式?????与复合梯形公式对比, 例7.4第20页/共51页 21复合求积公式步长折半的复合求积公式计算积分余项公式包含被积函数的高阶导数, 很难应用. 常常动态地确定步长h常用的动态减小步长策略是: 步长折半, 利用已算出结果复合梯形公式的情况递推化的复合梯形公式:?(逐渐减小, 直到满足精度要求)????只需再计算新增节点的函数值第21页/共51页 22复合求积公式步长折半的复合求积公式计算复合Simpson公式的情况很少使用中矩形公式的原因??????与梯形公式有相同的代数精度/准确度, 计算量更小?可类似构造复合中矩形公式, 但在步长折半时, 无法重用以前的结果第22页/共51页 23Remberg积分算法第23页/共51页 24复合梯形公式的余项展开式??(可与Richardson外推结合)Th7.5???????所有小区间的积分求和:第24页/共51页 25复合梯形公式的余项展开式?Th7.5?????所有小区间乘h/2求和:???????????第25页/共51页 26Richardson Extrapolation???(“0”代表未经外推的原始公式)?????第26页/共51页 27Richardson Extrapolation??第27页/共51页 28Romberg算法龙贝格算法列三角形表格, 按行依次计算计算公式?????????????????可证明:?具有2k+1次代数精度??(类似高阶差商的计算)第28页/共51页 29Romberg算法 ??做等距的节点分布, 充分利用其上函数值得到最高准确度的结果要求被积函数充分光滑!第29页/共51页 30Romberg算法?011/80408020804080.877192610.841