定积分的几何应用.pptVIP

（优选）定积分的几何应用ppt讲解 目前一页\总数二十五页\编于二十二点 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 一、元素法 目前二页\总数二十五页\编于二十二点 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 目前三页\总数二十五页\编于二十二点 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 提示 面积元素 目前四页\总数二十五页\编于二十二点 目前五页\总数二十五页\编于二十二点 微元法的一般步骤： 目前六页\总数二十五页\编于二十二点 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 目前七页\总数二十五页\编于二十二点 [f上(x)? f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 二、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 目前八页\总数二十五页\编于二十二点 讨论： 由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积为 面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy, 目前九页\总数二十五页\编于二十二点 例1 计算抛物线y2?x与y?x2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的投影区间: (4)计算积分 [0, 1]; (1)画图; 目前十页\总数二十五页\编于二十二点 例2 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积. (2)确定在y轴上的投影区间: (4)计算积分 (3)确定左右曲线: [-2, 4]. 解 (1)画图; 目前十一页\总数二十五页\编于二十二点 例3 因为椭圆的参数方程为 x?acost, y?bsint, 所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. 于是 ydx, 椭圆在第一象限部分的面积元素为 目前十二页\总数二十五页\编于二十二点 曲边扇形 曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线???(?)及射线???, ???所围成的图形. 曲边扇形的面积 2.极坐标情形 目前十三页\总数二十五页\编于二十二点 例4 计算阿基米德螺线??a? (a0)上相应于?从0变到2? 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解 例5 计算心形线??a(1?cos?)(a0)所 围成的图形的面积. 解 曲边扇形的面积： 目前十四页\总数二十五页\编于二十二点 三、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 1.旋转体的体积 目前十五页\总数二十五页\编于二十二点 旋转体都可以看作是由连续曲线y?f(x)、直线x?a、a?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 1.旋转体的体积 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积?[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 旋转体的体积 于是体积元素为 dV??[f(x)]2dx. 目前十六页\总数二十五页\编于二十二点 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线x?h及x轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 旋转体的体积： 解 目前十七页\总数二十五页\编于二十二点 解 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 旋转椭球体的体积为 旋转体的体积： 例7 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的 旋转体(旋转椭球体)的体积. 目前十八页\总数二十五页\编于二十二点 设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 立体的体积为 2.平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)dx. 目前