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实际问题与二元一次方程组（一）（基础）知识讲解 责编: 【学习目标】 1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解 方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型； 2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题. 【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系（一） 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 利润 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，利润率= 100% . 进价 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和 未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程， 所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数 要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写 位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、和差倍分问题 1. （2016•长春二模）电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进 入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220 元买了1个茶壶和10 个茶杯，已知茶壶的单价比茶 杯的单价的4 倍还多10 元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？ 【思路点拨】设茶壶的单价为x 元，茶杯的单价为y 元，根据题意可得，1 个茶壶和10 个 茶杯共花去220 元，茶壶的单价比茶杯的单价的4 倍还多10 元，据此列方程组求解． 【答案与解析】 解：设茶壶的单价为x 元，茶杯的单价为y 元， 由题意得， ， 解得： ． 答：茶壶的单价为70 元，茶杯的单价为15 元． 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数， 找出合适的等量关系，列方程组求解． 举一反三： 【变式】（2015•茂名模拟）根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ） A．7 元 B．35 元C．45 元D．50 元 【答案】C． 解：设水壶单价为x 元， 单价为y 元， 则有 ， 解得 ． 答：一个热水瓶的价格是45 元． 类型二、配套问题 2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或 衣袖5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布 料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第 二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍（注意：别把2 倍的关系写反了）. 【答案与解析】 x y 解：设用 米布料做衣身，用 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套. x + y =132  根据题意，列方程组得3 5  x 2 = y