纳米尺度理论与计算-有限元方法简介及COMSOL实例分析.pdfVIP

有限元方法简介及COMSOL实例分析 主要内容  有限元方法简介  COMSOL介绍及模拟实例 一维泊松模型（静电模型） 双电层模型（PNP方程） 2 多尺度下理论计算模拟 第一性原 分子动力 连续模型 理 学 Continuum Model Electro-diffusion-reaction A preliminary model: Poisson-Nernst-Planck equations i p (r,t) i i i i {D (p p (q ))}, i 1,...,K , t (r, t)   q (r r )  i i  m k q p (r, t) m i 定义  求解偏微分方程的数值方法：有限元法，有 限差分法，有限体积法等  有限元法（Finite Element Method）是基于变 分原理，得到方程的得弱积分形式，然后用 插值函数将连续函数离散化求解。 （拉格朗日插值，高斯数值积分） 5 大体过程：总结构离散化— 单元分析— 单元 组装 （单刚度矩阵）— 施加边界条件— 得到 总刚度矩阵 优势： 在离散度的选择方面提供了极大的自由 理论完善：精确的误差、收敛性、唯一性分析 6 离散化  一个连续的介质会被离散成数个简单的基本 几何单元 7 单元分类  1-D 单元(1-D element)  2-D单元(2-D element)  3-D 单元(3-D element) 8 USING FEM TO SOLVE A GENERAL ELLIPTIC PDE Consider a general class of elliptic equations of the form where D is a symmetric positive definite tensor, b is a real-valued function, andf is a source term. Its solution u (in the sense of the week form) also solves the following Galerkin weak problem: where u¯is a trace function satisfying the Dirichlet boundary conditions, H 1(Ω) is a