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第1页/共101页下册能量法资料第2页/共101页能量法第三章 能量法 §3-1概述 §3-2应变能·余能 §3-3卡氏定理 §3-4用能量法解超静定系统*§3-5虚位移原理及单位力法第3页/共101页能量法§3-1概述 利用与功和能的概念相关的一些定理和原理，来解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题的方法，称为能量法（energy method) 不计能量损耗，则根据功能原理有Vε = W第4页/共101页能量法§3-2 应变能 · 余能一、应变能(一)线弹性体1、轴向拉压杆的应变能计算：F 广义力 Δ广义位移 第5页/共101页能量法2、圆轴扭转时的应变能各种基本变形的应变能统一表达式：3、梁弯曲时的应变能第6页/共101页能量法4、杆件在组合变形时的应变能 小变形时，各基本变形的应变能可单独计算，然后相加，得到组合变性杆的总应变能。即： 注意:应变能是力的二次函数，因此，引起同一基本变形的一组外力在杆内所产生的应变能，并不等于各力分别作用时产生的应变能的简单相加。第7页/共101页例如：求图示简支梁的应变能。xFMACB能量法解：设F和M同时由零按比例加至终值。（1）求支反力，列弯矩方程：（2）求应变能：（1）、（2）式代入（3）式得：第8页/共101页FMACBVε1诱导功Vε2Vε1诱导功Vε2能量法变形(a)式得令则Vε1：F 单独作用应变能Vε2：M 单独作用应变能第9页/共101页FMMAACCBBF能量法同时加F 和M先加M，再加F 先加F，再加M上三式说明：一组外力引起同一基本变形时，杆的总应变能，并不等于各力分别单独作用时产生的应变能的简单相加。另外，上三式还说明：杆件的应变能，只与最终的载荷状态有关，而与加载次序无关。第10页/共101页能量法又如：结论：应变能与加载次序无关。第11页/共101页能量法(二)非线弹性体F 广义力 Δ广义位移 第12页/共101页FACBaa能量法[例3-2-1] 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？第13页/共101页MABaa能量法[例3-2-2] 用能量法求B截面的转角。梁为等截面直梁。解:(1)外力功: (2) 应变能:第14页/共101页RFA能量法例3-2-3 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F 的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）1、求内力第15页/共101页能量法2、应变能：3、外力功等于应变能第16页/共101页能量法 二、余能 图 a为非线性弹性体的受拉杆，其F-△和σ-ε关系如图b,c 所示。1.余功的定义第17页/共101页FWcF1aWOD1D(d)能量法其大小为曲面OF1a的面积，如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OF1a△1 的面积与曲面Oa△1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 。第18页/共101页仿照 , FVcaF1VeD1 D O(e)能量法2.余能余能为 余能密度为余能为 Δ= f (F ),ε=f (σ )。所以余能、余能密度为受力状态的函数。3.线弹性体（图e）Vε和 Vc 数值相等，但概念和计算方法不同，即Vε = f (Δ) , Vc = f (F )。第19页/共101页能量法例3-2-4 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的 σ-ε 关系如图b所示。求结构的余能。 解：该题为物理非线性问题，需用 求 Vc。 由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为应力为第20页/共101页由（n1）得能量法余能密度为结构的余能为第21页/共101页能量法§3-3卡氏定理一、卡氏第一定理 图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，Δi为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值。 设各力和相应位移的瞬时值分别为fi ,δi，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为为位移状态函数。第22页/共101页 （a）(b)式中， 为应变能对位移 的变化率。 能量法 假设与第 i个荷载Fi相应的位移Δi有一微小位移增量dΔi ， 而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为第23页/共101页得令能量法 上式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。 以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故上适用于一切受力状态的弹性体。 对于线弹性体也必须把Vε写成给定位移的函数形式。第24页/共101页能量法例 3-3-1 图a所示结构中，AB,BC 杆的横截面面积均