2022年高考数学总复习讲义：补集思想在解题中的应用举例(高三).pdfVIP

补集思想在解题中的应用举例 在集合中，大家都知道补集有这样一个性质：A (C A)U ，可 U 是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作 用. 2 2 2 2 【例1】已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)0},B={y|y-6y+8 0}， 若 A∩B≠φ，求实数a的取值范围. 分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果， 若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解. 2 解：易解得 A={y|ya +1 或 ya}, B={y|2 y 4},我们不妨先 考虑当 A ∩B＝φ时a 的范围.如图 a2 由  ， 得 a 142 a 2  2 4 a +1 a2  a 3或a 3 ∴a 3或 3a2. 即 A ∩B＝φ时 a 的范围为a 3或 3a2,而 A ∩B≠φ时 a   的范围显然是其补集.从而,易知所求范围为 a|a2或  3a 3 . 【点评】一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，我们就可 以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”. 2 2 2 【例 2 】若 下 列 三 个 方 程 ：x +4ax-4a+3=0,x +(a-1)x+a =0, 2 x +2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围. 分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种， 即“三个方程均无实根”.故先考虑其反面是捷径. 解 ： 若 三 个 方 程 均 无 实 根 ， 则 有  3 1  2  a2 2  (4a) 4(4a3)0   1  1 2 2  (a1) 4a 0  a1或a  2  3 2  (2a) 4(2a)03 2a0   3 .设 A= 3 .于是三个方程至少有一  a1 x a1 2  2  个方程有实根的实数a的取值范围为  3  C A aa 或a1  U  2  【 例 3 】 若 x 、 y 、 z 均 为 实 数 ， 且 2 