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皮亚杰的数学观下的儿童 的数学思维与数学学习 •1.皮亚杰的数学观 •2.皮亚杰的儿童数学思维发展观 •3.皮亚杰理论的一些局限性 一、皮亚杰的数学观 （1）什么是数学观 数学观是人们对数学的总体看法，它有各种 表现形式.例如在本体论方面，数学对象是否具 有客观性？在认识论方面，数学发展的动力或 源泉是什么？数学是经验科学还是演绎科学抑 或是经验与演绎的辨证统一？数学的真理性标 准是什么？这些都涉及对数学的总体看法，人 们对这些问题的不同回答反映出他们不同的数 学观. （2）关于数学的总体认识 关于数学的认识，皮亚杰认为 :全部数都可以按 照结构和建构来考虑.数学认识是不断建构的产物. 建构构成结构，结构对认识起中介作用；结构不断 建构，从比较简单的结构到更为复杂的结构，其建 构过程则依赖于主体的不断活动. 数学知识既不是形成于物理实在的客体之中，也 不是先验的形成于主体自身之中，而是来自于主体 的协调动作和动作图式.是对人类动作图式通过不 断反身抽象和内部协调方式进行内化建构的产物 . 这种产物除数学外就是逻辑数学结构，皮亚杰常 称为逻辑数学图式或逻辑数学结构. （3）数学实体不具有本体论意义 皮亚杰认为数学实体不具有本体论意义.在内化 建构中，新图式取代旧图式，不是简单的抛弃旧图 式，新图式是从旧图式发展而来的，新图式保留、 改造了旧图式并把它整合到旧图式中去，即旧图式 服从新图式的整体结构，从而新图式进入比较高一 级的程度.也就是说不存在“一切结构的结构”， 这就是逻辑数学发展的渐进模式.这种发展是无止 境的，永远不会停留在一种水平上. （4）对数学认识论的三个传统问题的回答 第一，数学是奠基于极少数内容相当贫乏的概念或公理上， 却是富有成效的. 皮亚杰认为，数学认识是不断建构的产物，建构是过程， 建构的结果是形成结构，由于主体的不断活动，结构又不断 的建构，从而从简单的结构形成更为复杂的结构和更为丰富 的结构.在建构过程中，最初与一定的具体事物相联系 (如， 儿童最初出现的数学活动看起来是经验性的：把算盘珠子拨 拢来或者分开，集合体的排列来证实可交换性等)，经若干次 提炼后建构就不必顾及具体经验事物的存在与否，可以只根 据运算的逻辑规律自由地进行组合，并且这种组合的正确与 否可由逻辑法则予以判定而无须求助于任何经验事物(即具有 演绎性质).即，如皮亚杰所说：这些活动一旦内化为运演的 形式时，就能以符号的形式，从而也能以演绎的方式来进行. 反身抽象是对主体动作协调的抽象，也就是对运算 的运算.由于它不断的从较低活动水平转移到较高活动 水平，因此运算终将内化为抽象的概念运算，又因为 充分使用符号，数学体系就几乎完全是由符号、数字、 概念和命题组成.因此，数学所表示的只是抽象的一般， 已和具体事物完全分离，只须服从运算的逻辑法则就 可以独立存在，这时运算思维不在受主体实际活动的 束缚而成了纯形式的运算.总之，形式可独立于它的内 容而起作用，甚至没有内容的形式也能被建构起来而 发挥作用.数学完全可以按照自己内在逻辑规律在自己 的基础上独立自主的发展，在一种纯粹的状态中，自 我支持、自我激励的繁衍自己.因此，纯粹数学的独立 发展是可能的. 第二，数学具有建构的特征，这可能成为不合理性产生的根 源，但为什么数学仍然具有必然性和保持着恒常的严格性呢？ 皮亚杰认为，丰富性和必然性总是连在一起的，所谓现代 数学的显著进是以数学进展的两个相互关联的方面，即增多了 建构性和提高了严格性为其特点.任何理论体系就其自身来说 总是不完备的，必须借助一个比它更完善或更“强”的理论才 能证明其无矛盾性，据此，皮亚杰认为，任何一个逻辑数学结 构在没被整合到一个更大或更高级的结构之前总是不完善的， 这就要求对现有的结构进行反身抽象的内化建构，使之过渡到 更为抽象的高级水平上，数学在这样的建构中，各种水平的结 构按照其丰富性和完备性不同程度地排列起来，成为一个强度 不断增长地序列，这就是逻辑数学的发展模式.这种发展过程 模式是无止境的永远不会停留在一种水平上.一方面建构时应 为论证的结论提出理由，另一方面，建构时我们必须能看到结 论是如何从已把结论包含于其中的那些前提的组合中推导出来， 而后者则抽象出一种导致结论的合成法则，此法则把建构性和 严格性结合在一起. 第三,尽管数学完全具有演绎性质，但数学跟经验或物理 的现实是符合一致的. 皮亚杰指出，一方面，在人类认识发展的任何阶段， 主体总是在某