数值分析4不动点迭代.pdf

迭代法回顾 设f (x) = 0的根为x *,通过迭代计算产生序列: x → x → → x → 0 1 n * lim x = x n n→ 13:48 选择任意的数字x 。 中输入命令x=your number 。例如x = 3 。 中输入命令x=sqrt(1+x) 。命令计算 (1+x)1/2 并用 的结果替代以前的结果。重复上 述过程(up-arrow键), 得到如下结果: 3 2 1.7321 1.6529 1.6288 1.6213 1.6191 1.6184 1.6181 1.6181 1.6180 1.6180 1.6180 中等号是赋值算子。即计算等式右边的 值并将值 到左边的变量。命令计算(1+x)1/2并 用 的结果替代以前的结果。重复上述过程得 到如下最后结果为1.6180(黄金比例 ) 。 数学中等号是恒等 。上述x 称为函数 1/2 2 f (x)=(1+x) 的不动点。方程x -x-1=0的正根是函 数f (x)的不动点。 不动点迭代(Fixed Point I tion) * x 称为不 动点 等价变换 * * * f ( x ) = 0 x =( x ) xn =( xn−1 ) f (x) 的根 ( x) 的不动点 启示: 通过重复简单的不动点计算并赋值来逐步 近方程的解。 13:48 不动点迭代(Fixed Point I tion) 选择适当的初始值x ,按照如下的迭代格式计算: 0 x =( x) x =( x ), n=0,1,2, n+1 n 基本思想是将非线性方程求解归结为一系列显 式的函数值计算。 * 如果数列{x }有极限 x = lim xn , 则称迭代是收 * n n→ x (x ) 敛的。 是非线性方程的根和 的不动点。 例1 方程x3 + 4x2 – 10 = 0 在 [1, 2] 上有一个 根, 构造求根的不动点迭代格式。 (1) x = 10