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2001 年考研数学二试题及答案 超级狩猎者 超级狩猎者 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题（本题共5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．把答案填在题中横线上．） （1）  lim x?1 3 ? x ? 1? x x2? x?2 ＝ ． 2【答案】? 2 6 【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一： lim 3 ? x ? 1? x  ? lim 2(1? x) ? 1 ? ? 1 lim 1  2? ? . 2 x?1 x2 ? x ? 2 x?1 (x ?1)(x ? 2) x?1 x ? 2 6 3 ? 3 ? x ? 1? x 2 ?112 3 ? x 2 1 ? ? 1 1 2 3 ? x 2 1 ? x 2x?1 ? lim x?1 3 ? x ? 1? x x2 ? x ? 2 ? lim x?1 ? 2 2 2 2 ? ? 2 . 3 6 （2）设函数y ? f (x) 由方程e2 x? y ? cos(xy) ? e ?1所确定，则曲线y ? f (x) 在点(0,1) 处的法线方程为 ． 【答案】x ? 2 y ? 2 ? 0 【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析：在等式e2 x? y ? cos(xy) ? e ?1 两边对 x 求导, 得 e2 x? y ?(2 ? y ) ? sin(xy) ? ( y ? xy ) ? 0, ? 0, ? ? 0, ? 1 (0) ? ?2. x y y y ?1 ? 1 x, 即 2  x?2y+2=0. （3）  2 (x3 ? sin2 x) cos2 xdx ?ππ ? π 2 ＝ ． 【答案】? 8 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★ 【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区 间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. ?,在区间 ? ? 上 ? , [ , ]  x3 cos2 x 是奇函数,  sin2 x cos2 x 是偶函数, 2 2 故 ? ? ? ? ?  ? ? 1 ? 2 x3 ? sin2 x ?? 2 cos2 xdx ? ? 2 ?? 2 x3 cos2 x ? sin2 x cos2 x dx ? ? 2 ?? 2 sin2 2xdx 4 2? 1 ? ? 2 (1? cos 4x)dx ? ? . 过点(1 2  ,0) 8 ?? 2 ? ? ? y arcsin x 8 1? x2y 1? x2 线方程为 ． 【答案】 y arcsin x ? x ? 1 2 【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一: 1? 1? x2  y arcsin x ? y ? 1 可改写为 ?y arcsin x ? ? 1, 两边直接积分,得y arcsin x ? x ? 两边直接积分,得 又由 1 y( 2  ) ? 0, 解得C ? ? 1 . 2 故所求曲线方程为： 方法二: y arcsin x ? x ? 1 . 2 将原方程写成一阶线性方程的标准形式 1? x 1? x2 arcsin x 1 y ? 1 . 解得arcsin x 11? x2 arcsin x???? 1 1? x2 arcsin x ? ? y ? e ? e?lnarcsin x ?C ? ? ?C ? ? ?? 1 e 1? x2 arcsin x dx? arcsin x ?? ? elnarcsin xdx ?? arcsin x ?? ? 1 arcsin x 又由 (C ? x), 1 解得 1 y( ) ? 0, 2 C ? ? . 2 故曲线方程为： y arcsin x ? x ? 1 . 2 ?a 1 1?? x ? ?1 ? 设方程?1 a 1?? x ? ? ?1 ? 有无穷多个解，则 ?? ? ? ? 1 ? ?? ? 2 ? ? ? a ? ????1 1 a??? x ? ??? 2?? ? ? ＝ ． 【答案】? 2 ?? 3 ?? 【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一: 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有 ?a 1 1 ?A ? ?1 a 1 ? ??1 1 a 1 ? ?1 1 a ? ?1 ? ? ?0 a ?1 1? ? ? ?2?? ??0 1 ? a 1 ? a2 ?2 ? 3? 3 ? 1 ? 2a?? ?1 1 a ?2 ? ?? ?0 a ?1 ? ? ?a ?1? ?? ? 3 ? , ? ?? ??0 0 a