最短路径问题课件.pptVIP

八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题 看图思考： 为什么有的人会经常践踏草地呢？禁止践踏爱护草坪绿地里本没有路，走的人多了… …两点之间，线段最短 将军饮马问题：两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。 将军饮马 ：(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？A最短路线：A ---P--- B.根据： 两点之间线段最短. (二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河 (二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？ (三)二次轴对称：一点在两相交直线内部例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？M 草地.驻地AON 河边 (三)二次轴对称：一点在两相交直线内部例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？ （四）二次轴对称：两点在两相交直线内部例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。 最短路线：A P Q BQ//M （四）二次轴对称：两点在两相交直线内部例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？ （四）二次轴对称：两点在两相交直线内部M例4变式：A..A.C.B.D.BON (五)造桥选址问题 两点在一条河两侧例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AB 思维分析1、如图假定任选位置造桥 AＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？B 思维火花我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.子 古搬 有桥 愚公呵 移呵 山4、把桥平移到和B相连.今有学 合作与交流上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决AA1Ｍ１如图，平移A到A ，使ＡA 等M1于河宽，连接A Ｂ交河岸于11Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.Ｎ１NB理由；另任作桥Ｍ Ｎ ，连接ＡＭ ，ＢＮ ，Ａ Ｎ１１１１１.１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ Ｎ，ＡＡ ＝ＭＮ＝Ｍ Ｎ ，ＡＭ ＝Ａ Ｎ .１１１１１１１AM+MN+BN转化为ＡＡ ＋Ａ Ｂ，而ＡＭ ＋Ｍ Ｎ ＋ＢＮ 　转１１１１１１化为ＡＡ ＋Ａ Ｎ ＋ＢＮ１１１１.在△Ａ Ｎ Ｂ中，由线段公理知A N +BN ＞A B１１1 111因此ＡＭ ＋Ｍ Ｎ ＋ＢＮ ＞ AM+MN+BN１１１１ 问题延伸如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） 思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处 思维方法沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.