第08讲 最值与范围问题（解析几何）（解析版）.docxVIP

第08讲 最值与范围问题 知识与方法 解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两类方法: 一是几何法, 若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和平面图形的有关性质来求解; 二是代数法, 先根据条件列出目标函数, 然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或值域. 下面是常见的求函数值域的方法: (1)基本不等式法; (2)导数法; (3)判别式法; (4)换元法; (5)配方法; (6)三角函数有界性; (7)函数单调性. 典型例题 类型1：两点间距离的最值 【例1】 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(?1,0), 点 P 是椭圆 x24+y 【答案】 6 【解析】设点 P 的坐标为 (x,y ∴|PA 当 x=?43 时, |PA| 取最小值 6 因此, |PA| 的最大值与最小值的积为 故答案为: 6. 【注】将距离问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题, 特别要注意 x∈[?2,2] 类型2：点到直线距离的最值 【例2】 已知椭圆 x225+y2 【答案】 (?4,3) 【分析】作出直线 l 及椭圆. 观察图形, 可以发现, 利用平行于直线 l 且与椭圆只有一个交点的直线, 可以求得相应的最小距离. 【解析】 解法 1: 由直线 l 的方程与椭圆的方程可以知道, 直线 l 与椭圆不相交. 设直线 m 平行于直线 l, 则直线 m 的方 程可以写成 4x 由方程组 4 0 令方程(2)的根的判别式 Δ=0, 得 25x 解方程(3)得 k1=25, 或 k2=?25. 由图可知, 当 k=25 时，直线 m 与椭圆的交点到直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为 4x?5 ?方程(2)即? 故椭圆上的点 (?4,3) 到直线的距离最小, 且最小值为 1541 解法 2: 设椭圆上任意一点为 P(5cos?θ,3sin?θ) d 当 cos?(θ+φ)=?1 即 此时 cos?θ=?cos?φ 【注】本题解法一利用数形结合，将直线平移至与椭圆相切的位置，则两平行线间的距离就是椭圆上 的点到直线 l 的距离的最大值或最小值. 解法二则利用椭圆的参数方程设点, 将点到直线的距离用三角函 数表示, 结合辅助角公式求得最小值, 体现了“最值问题，函数思想”. 类型3：距离之和（差）的最值（化折为直） 【例3】 以椭圆 x212+y23=1 【答案】 (?5,4), 椭圆方程为 x 【解析】解法 1: 如图所示, 椭圆 x212+y23=1 的焦点为 F1(?3,0),F2(3,0). 点 F1 关于直线 l:x?y+9=0 的对称点 ∴a=35 因此, 所求椭圆的方程为 x2 解法 2: 设椭圆为 x2a2+y 2 由题设 Δ= a4?54 故 amin=35, 得 (2 解法 3: 设椭圆 x2a2+y 则 acos?α? ∵ 2a ∴ 故 amin=35, 得 (2 【注】本题从几何、代数和三角三个角度进行求解. 解法 1 是按照椭圆的定义，问题转化为在已知直 线上找一点, 使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，利用对称的知识就可解决; 解 法 2 联立直线与椭圆方程, 利用判别式大于或等于 0 来求解; 解法 3 则利用了三角函数的有界性. 【例4】 (1) 如果 M 是以 A、B 为焦点的椭圆 x24+y23=1 上任一点, 若点 M (2) 如果 M 是以 A、B 为焦点的椭圆 x24+y23=1 上任一点, 若点 M 【答案】 (1)52; 【解析】 (1) ∥MC|?|MB∥?|BC 则当 M 与 D 重合时, m 取得最大值 52 (2) A(?1,0),C1 | 由 ||MA|?|MC∥?| 所以 4?13 当且仅当 A、M、 故 n∈ 【注】本题利用了三角形任意两边之差小于第三边, 需要注意的是等号能否取到. 类型4：距离之积的最值问题（投影转化) 【例5】已知圆 C:(x?1)2+(y?1)2=2, 椭圆 Γ:x22+y2=1, 过原点 O 【答案】2 【解析】解法 1 : 投影转化+辅助角公式 如图所示, 延长 OC 与 ⊙C 交于点 P, 则 P(2,2), 设 连结 PM, 因为 OP 是 ⊙C 的直径, 所以 PM 结合向量数量积的几何意义（投影）可得 | 注意到 x022+y02=1, 令 x0=2 解法 2: 柯西不等式 由柯西不等式得 x0 所以 x0+y 故 |OM|?|ON 类型5：与角度有关的最值问题 【例6】 M,N 分别是椭圆 x24+y22=1 【答案】 π 【解析】设点 P22,y0y00, 直线 ∵M(?2,0), k 于是 tan?∠ ∵∠ 即 ∠MPN 的最大值为 π 【注】有关角度的问题，往往要转化为直线斜率