第06讲 定点问题（解析几何）（原卷版）.docxVIP

第06讲 定点问题 知识与方法 定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定． 直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出和的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点． 求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值． 1．对直线过定点的理解 如：①直线恒过定点； ②对于直线，若，则直线方程为，显然过定点； ③无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____． 【解析】直线可化为， 令，故定点坐标为． 2．直线过定点问题的基本解法 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值； ③将②的结果代入(或)，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)； ③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明) 3．定点问题的常见类型 ①由斜率关系求定点； ②由倾斜角关系求定点； ③切点弦过定点； ④相交弦过定点； ⑤圆过定点． 典型例题 类型1：由斜率关系求定点 相关结论如下： 定理1：为椭圆上一定点，过点作斜率为的两条直线分别与椭圆交于两点． (1)若，则直线过定点； (2)若，则直线过定点． 定理2：设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线交椭圆于，直线的斜率分别为，弦的中点记为． (1)若，则直线过定点； (2)若，则直线过定点． 定理3：过抛物线上任一点引两条弦，直线斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点． 【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍． 斜率之和为定值，第三边过定点 【例1】已知椭圆，四点， 中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点．若直线与直线的斜率的和为，证明： 过定点． 斜率之积为定值，第三边过定点 【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为，离心率为，过点作斜率为， 的直线，分别交椭圆于点． (1)求椭圆的方程； (2)若，证明直线过定点，并求出该定点． 【例3】过椭圆上一定点作两条互相垂直的直线与分别交于点，求证：直线过定点． 【例4】已知是椭圆的左右焦点．过作两条互相垂直的直线与(均不与轴重合)分别与椭圆交于四点．线段的中点分别是，求证：直线过定点，并求出该定点坐标． 斜率之比为定值，第三边过定点 【例5】如图所示，抛物线的焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过的两条直线分别与抛物线交于点与(点在轴的上方)． ①若，求直线的斜率； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 类型2：由倾斜角关系求定点 【例6】已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点为坐标平面内的一点，且为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，是椭圆上两个不同的点，直线的倾斜角分别为， 且，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 类型3：切点弦过定点 【例7】已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，求证：直线经过定点． 【例8】已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，点是直线上任意一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程； (2)证明直线过定点，并求出定点坐标． 类型4：相交弦过定点 【例9】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为． (1)求的方程； (2)证明：直线过定点． 类型 5：圆过定点 【10】 设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 . (1) 求实数 的取值范围; (2) 求圆 的方程; (3) 问圆 是否经过某定点（其坐标与 无关）? 请证明你的结论.