九章算术开方算法系统及其与现代计算机程序的比较.docx

九 章 算 术 开 方 算 法 系 统 及 其 与 现 代 计 算 机 程 序 的 比 较 Revised by Hanlin on 10 January 2021 《九章算术》开方算法系统 及其与现代计算机程序的比较 傅海伦 中国古代把开方法与二次、三次或高次数字方程解法统称为开方术。《九章算 术》少广章 提出了完整的开平方、开立方程序。 一、《九章算术》的开平方程序 开平方相当于求 x2 = N 的根。 开方术曰：「置积为实。借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一 算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算，步之如 初，以复议一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副从定法。复除，折下如 前。…」 [1] 《九章算术》给出的术文言简意赅，在开方筹式中每一个数字的记数和入 算，都严格遵循位置值制。由于其中明确指出：「复除，折而下」、「复除， 折下如前」，可见，这是一个具有一般性的机械化算法程序。即是说，不论平 方根有多少位数，反复实施这一程序都可求出来。所以，在此有必要对一般情 形下的这种机械化程序加以剖析。 以总的来说，开平方的程序是：首先作四行的筹式布算，即从上到下的四 行依次布以方根(「议所得」)、被开方数(实)、法和借算，然后机械反复 实施「超」、「议」、「除」、「折」的四大步骤，直至「适尽」、结束。 「超」：将置于个位上的借算自右向左隔一位移一步，移到与实的最高位 (N 为奇数位)或次高位(N 为偶数位时)对齐为止。若移 n 位，这相当于将 方程进行倍根变换，变换后的方程为 102nx 2 = N 的形式，如图 (2) 1 「议」：议得根的第一位得数为 a 1 「除」：以 a 乘借算 102n 得 102na 作 为法。置于第三行，使得以法除实时， 1 1 恰得商 a ，而余数 N 小于 102na 2 ：N ÷(102na ) = a + N / 102na [2]。 1 1 1 1 1 1 1 「折」：撤去借算， 将法 102na 加 倍为定法，并将定法向右退一位为2102n 1 －1a 如图 (4)，再在下行个位上布置借一算。 1 为求方根第二位得数，需要重复以上四个步骤： 「超」： 将置于个位上的借算自右向左隔一位移一步， 显然只需移n－1 步， 即 102n－2 如图 (5)，这又相当于求方程 102n－2x 2 + 2102n－1a x = N－102na 2 的 正 2 1 2 1 根。 「议」：复议得根的第二位得数a 2 「除」：以 a 乘借算 102n－2 ， 加定法，得法： 2102n－1a + 102n－2a ， 同样以 2 1 2 法除实： (N－102na 2) ÷ (2102n－1a + 102n－2a ) = a + N /(2102n－1a + 102n－2a )， 1 1 2 2 2 1 2 余 数N 小于 (2102n－1a + 102n－2a )a 。如图 (6)，如果余数为零， 则开方完毕；若 2 1 2 2 不为零， 则 「折下如前」，按接下来的程序步骤继续开方。 通过对上述筹算开平方法的分析，可知它是根据下面这些公式来逐步 推求 的，与现代的迭代法完全一致，可以通过计算机来实现： (a + b)2 = a2 + (2a + b)b (a + b + c)2 = (a + b)2 + [2(a + b) + c]c (a + b + c + d)2 = (a + b + c)2 + 2[(a + b + c) + d]d …… 开平方术文还有对几种特殊情况的处理方法：一是被开方数为分数的 情形， 要「通分内子」，若分母是平方数，则分子、分母分别开方，然后相除，即A = b/a， ；若分母不