黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别.docxVIP

黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别 黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。 首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下： $$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf \left(x_i\right)\Delta x_i$$ 其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。 而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下： 其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。 从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。 此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。