济南大学高等数学C(一)7二重积分-疑难解答.docx

第九章 二重积分 PAGE PAGE 10 习题 9－1 第九章 二重积分 ? ? 设I 1 ? ?? ( x 2 ? y 2 ) 3 d? , 其中D ? 1 ( x , y ) ? 1 ? x ? 1,?2 ? y ? 2 ; D1I ? ?? ( x D1 2 D2 y 2 ) 3 d? , 其中D 2 ? ?( x , y ) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2?. 试利用二重积分的几意何义 说 明I 与I 1 解：由二重积分的几何 意义知 的关系。 2 I 表示由曲面 z ? ( x 2 ? y 2 )3 与平面 x ? ?1, y ? ?2以及 z ? 0围成的立体 V的体积。 1 I 表示由曲面 z ? ( x 2 ? y 2 )3 与平面 x ? 0, x ? 1, y ? 0, y ? 2以及z ? 0围成的立体 2 V 的体积。 1 显然立体 V关于 yoz 面、 xoz 面对称，因此 V 是V位于第一卦限中的部分 ， 1 故V ? 4V ，即I 1 1 ? 4 I . 2 利用二重积分的几何意 义说明： 当 积分区 域D关 于y轴 对称 ，f ( x, y)为x的奇函数， 即f (? x, y) ? ? f ( x, y)时 ， 有 ?? f ( x, y)d? ? 0. D 当 积分区 域D关 于y轴对称 ，f ( x, y )为x的偶函数， 即f (? x, y ) ? f ( x, y )时 ， 有 ?? f ( x, y )d? ? 2?? f ( x, y )d?， 其 中D 为D在x ? 0的 部分。 1 1D D 1 ? ? 并由此计算下列积分的 值，其中 D ? ( x, y) x 2 ? y 2 ? R 2 . (a)?? xy 4 d?;(b)?? y R 2 ? x 2 ? y 2 d?;(c)?? y 3 cos x d? . D D D 1 ? x 2 ? y 2 解：类似与第 1题的方法可知 (1), (2)成立。 因为D关于y轴对称，被积函数 xy 4是关于x的奇函数，所以 ?? xy 4 d? ? 0 。 D 因为D关于x轴对称，被积函数 y R 2 ? x 2 ? y 2 是关于y的奇函数， 所以?? y R 2 ? x 2 ? y 2 d? ? 0 。 D 因为D关于x轴对称，被积函 数  y 3 cos x  是关于 y的奇函数，所以 ??  y 3 cos x  d? ? 0 。 1 ? x 2 ? y 2 1 ? x 2 D ? y 2 根据二重积分的性质， 比较下列积分的大小。 I ? 1 ?? ( x ? y ) 2 d?与I ? 2 D ?? ( x ? y ) 3 d?， 其中积分区 域D是 由x轴、y轴与 D 直线x ? y ? 1所围成； 解： 区域D为： D ? ?( x, y) 0 ? x,0 ? y, x ? y ? 1?, 因此当( x , y ) ? D时，( x ? y )3 ? ( x ? y )2 ,从而 ?? ( x ? y ) 3 d? ? ?? ( x ? y ) 2 d? D D ? ? I 1 ? ?? ln( x ? y )d?与I 2 ? ?? [ln( x ? y )]2 d?，其中 D ? ( x , y ) 3 ? x ? 5,0 ? y ? 1 . D ? D ? 解： 显然区域 D ? ( x, y )3 ? x ? 5,0 ? y ? 1 位于直线 x ? y ? e的上方， 故当( x , y ) ? D时， x ? y ? e，从而 ln( x ? y ) ? 1, 因而[ln( x ? y )]2 ? ln( x ? y ), 故?? ln( x ? y )d? ? D ?? [ln( x ? y )]2 d?。 D 根据二重积分的性质估 计下列二重积分的值： (1) I ? ?? xy ( x ? y ? 1)d? , 其中 D ? ?( x , y ) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2?; D 解：因为在区域 D上0 ? x ? 1,0 ? y ? 2，所以 0 ? xy ? 2,1 ? x ? y ? 1 ? 4， 进一步可得 0 ? xy（ x ? y ? 1）? 8， 于是 ?? 0d? ? ?? xy ( x ? y ? 1)d? ? ?? 8d? , D D D 即 0 ? ?? xy ( x ? y ? 1)d? ? 16。 D ? ? (2) I ? ?? ( x 2 ? 4 y 2 ? 9)d? , 其中 D ? ( x , y ) x 2 ? y 2 ? 4 ;