济南大学高等数学C(一)5定积分及其应用-疑难解答.docx

第六章 定积分及其应用习题 6-1 定积分的概念 .利用定积分的定义计算 下列定积分： ? 2 xdx ; -1 ? ? 解：1 0 .在闭区间 ? 1,2 中插入 n ? 1个分点，把区间 n 等分 ? 1 ? x 0 ? x ? x 1 2 ? ? ? x ? x n ? 1 n ? 2, Δ x ? i 2 ? ( ? 1) ? n ? 3 . x ? ? 1 ? n i ? 3 i ( i ? 1,2 , ? , n ). n 3 0 .在每个区间 x , x i ? 1 i 中取右端点为 ξ ? x i i ? ? 1 ? i .因为 f ( x ) ? x ，所以 n ?n i ? 1 f ( ξ i )Δ x i ? ?n i ? 1 ξ Δ x i i ? ?n i ? 1 ( ? 1 ? 3 3 i ) ? . n n 即?n f ( ξ i )Δx i ? ?3 ? ?n i ? ?3 ? ?n 9 9n 2 n 2 9 9 i ? ?3 ? 9 ? n( n ? 1) . n 2 2 i ? 1 i ? 1 2 n i ? 1 ? 9 n ( n ? 1) ? 3 ? ? 3 0 .? xdx ? lim ? f ( ξ )Δ x ? lim ? ? 3 ? ? ? ? (其中 λ ? max Δ x ) ? 1 ) ? 1 e x dx . 0 λ ? 0 i i ? 1 ? ? i n ? ? ? n 2 2 ? 2 i 1 ? i ? n 解：1 0 .在闭区间 0 ,1 中插入 n ? 1个分点，把区间 n 等分 0 ? x 0 ? x ? x 1 2 ? ? ? x ? x n ? 1 n ? 1, Δ x ? i 1 . x ? 0 ? i ? i n i n n ? ? ( i ? 1,2 , ? , n ). i 0 .在每个区间 x , x i ? 1 i 中取右端点为 ξ ? x ? i i .因为 f ( x ) ? e x，所以 n n n n i 1 ? f ( ξ )Δ x ? ? e ξ iΔ x ? ? e n ? . i i i n 2ni ? 1 2 n 即?n i ? 1  f ( ξ i  )Δ x i i ? 1 ? 1 n  1 ( e n  ? e n i ? 1 ? ?n ? 1 ? ? ? e n  ? e n ) ?  1 ? e n ( e ? 1) . 11ne n ? 1 1 1 n n0 .? 1 e x dx ? lim ? n  f ( ξ  1 1 1)Δ x ? lim 1 ? e n ( e ? 1) ? e ? 1( 其 中 λ ? max 1 ?Δ x ?) 0 λ ? 0  i ? 1 i i n ? ? n e n ? 1 i 1 ? i ? n 2 .利用定积分的几何意义 ，说明下列等式： （1）? 1 2 xd x ? 1; 0 π （ 2）? 1 1 ? x 2 dx ? ; 0 4 ）? π π sinxd x ? 0； （4）? 2 ππ π ? 2 cosxd x ? 2 ? π cosxd x . 20 2 解：（ 1）?1 2 xd x表示如图所示的直角三 0 角形的面积，故 ? 1 2 xd x ? 0 1 ? 1 ? 2 ? 1 . 2 1 （ 2）? 1 0 1 ? x 2 dx 表示如图所示 1 圆的面积，故 4 π ? 1 1 ? x 2 dx ? 0 π ? 12 ? . 4 4 ? π sinxd x 表示如图所示阴影部分 π 的面积，其中 x 轴上方为正面积， x 轴下方为负面积，故 π ? π sinxd x ? 0 . π （ 4）? 2 π cosxd x 表示如图所示阴影部分 的面积，它是第一象限 面积的 2 倍， ? 2 π π 故 ? 2 π ? 2 cosxd x ? 2 ? 2 cosxd x . 0 习题 6-2 定积分的性质 .比较下列各题中的两个 积分的大小： I 1 I 1 ? ?1 0 ? ? 2 1 x 2 dx , I 2 x 2 dx , I 2 ? ?1 0 ? ? 2 1 x 4 dx ; x 4 dx ; I 1 ? ? 4 ln xdx , I 3 2 ? ? 4 (ln x ) 3 dx ; 3 I 1 ? ?1 0 xdx , I ? ?1 ln( 1 ? x )dx ; 2 0 （5） I ? ?1 e x