研究生入学考试电磁场与电磁波.pptx

1(4)梯度的导出根据上式可以看到坡度(方向导数)是能够取最大值的，即最陡方向。何时取最大值？标量场f的梯度定义矢量微分算子，Del算子，梯度算子， nabla算子(5)梯度的物理意义一个标量场在某一点的梯度表明了该点的最陡方向(单位矢量)及其陡峭程度(数值)(6)梯度的性质一个标量场的梯度是矢量一个标量场某点的方向导数为梯度在该方向上的投影某点的梯度垂直于过该点的等值面，其指向场值增加的方向第1页/共43页第一页，共44页。 2(7)圆柱坐标系下梯度的计算式(8)球坐标系下梯度的计算式(9)广义坐标下梯度的计算式第2页/共43页第二页，共44页。 3一个标量场某点的方向导数为梯度在该方向上的投影某点的梯度垂直于过该点的等值面，其指向场值增加的方向证明(1)：其中a为梯度的方向，b为“该方向”单位矢量，故可得结论证明：(1)如果等高线的变化非常小，那么在非常小的局部区域，等高线是什么关系？(2)梯度的数值即为方向导数的最大值。 要使方向导数最大，也就意味着所取方向为连接P与另一条等位线上最近点的方向，什么方向最小？P证明(2)：如图所示：其他方向的方向导数：第3页/共43页第三页，共44页。 4，证明：例题1:已知证明：(1)…(2)…(3)………Remember it forever!第4页/共43页第四页，共44页。 5例题2: 求标量场在点P(2,1,0)处的梯度。解：由于标量场给出的是直角坐标系下的表达式，因此它的梯度能够直接使用直角坐标系下的结果，即例题3: 给出圆柱坐标系下矢径的幅度梯度。解：矢径r的幅度为第5页/共43页第五页，共44页。 6矢量场的通量与散度 矢量场性质：各点的场量是岁空间位置变化的矢量。如漩涡的力场是直观的例子。表达形式： O矢量线的性质：方向的定义： 矢量线上任何一点的切线方向数值的定义： 矢量线间的疏密程度定性表示矢量线的交汇问题第6页/共43页第六页，共44页。 7O矢量线方程： 矢量线上任何一点的切线方向即为矢量场方向如图若已知矢量场F的矢量线呈对应关系曲线的切线方向为矢量场的方向为两者方向一致，故可建立矢量线方程第7页/共43页第七页，共44页。 8通量的定义:简单地说，就是通过一个曲(平)面的矢量线数目。通过每个小面元的数目发现:方向有关面元大小有关，如将线画密一些，线密度也会增加。即与场强的大小数值有关，第8页/共43页第八页，共44页。 9通量的计算式: 面元方向的定义：比较随意，但是对于封闭面，通常取外法向面元通量，可以定义通量的表达形式 非面元通量，则： 将宏观面元分解成非常多的小面元，假设每个面元上的矢量为恒量，这是数学中的微分思想，当面元足够小时，这时求和可以用积分来表示。 如果是闭合曲面，注意1、各种情况下表达式的不同，并关注闭合曲面的通量2、如果一个封闭面的通量不为0，表明该封闭面内有通量源第9页/共43页第九页，共44页。 10正电荷通量：封闭面通量大于0负电荷通量：封闭面通量小于0思考：如果一个封闭面内如果既有正电荷，又有负电荷，则通量将会怎样？第10页/共43页第十页，共44页。 11散度概念的意义：通量：积分量，范围比较大（宏观），无法反映每一点的性质。梯度：微分值，范围比较小（微观），能够反映每一点的性质。散度：微分值，范围比较小（微观），能够反映每一点的性质。散度定义：封闭面通量为表示微观特性，所取面积显然不能很大显然该式的值为0，why？因此需要对该式除以一个无穷小量，曲面的面积和体积是个合适的量，但显然应该取体积，why？矢量场的散度（通量体密度）第11页/共43页第十一页，共44页。 12微分思想：假设该立(长)方体非常小，其边长近似为0，则可以认为在每个面上的场量为常量。以下来考虑通过前后两个面上的通量：“前”面中心处场量为:“前”面通量近似为：散度计算式的推导：第12页/共43页第十二页，共44页。 13以下来考虑通过前后两个面上的通量：“前”面通量近似为：同理，“后”面通量近似为：故前后两面的通量为：左右两面的通量为：上下两面的通量为：第13页/共43页第十三页，共44页。 14(散度的计算式，同时也可以算是散度的定义式)圆柱坐标系的散度计算式：球坐标系的散度计算式：第14页/共43页第十四页，共44页。 15散度的物理意义：围绕点p作足够小的球面，通过计算矢量场在点p的散度可以得到矢量场向外的净流量净流量的大小和球面内部的源有关净流量为正，则内部的发散源净流量为负，则内部为收缩源净流量为零，则表明内部无散度源(净源为0)注意：净流量为零未必表明内部无源，例如漩涡第15页/共43页第十五页，共44页。 16证明：在直角坐标中，空间位置矢量的表达式为根据散度计算式，可以得到其散度为在Maxwell方程中，经