研究生入学考试二维随机变量及其分布.pptx

1第一节 二维随机变量及其分布函数第1页/共54页第一页，共55页。 2一、二维随机变量如在研究儿童的发育时，涉及到身高和体重两方面的问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素。 与一维随机变量的研究类似，我们也把随机向量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连续型的随机向量。第2页/共54页第二页，共55页。 3二、二维随机变量的分布函数注：联合分布函数表示 2 个事件同时发生的概率。第3页/共54页第三页，共55页。 4三、二维联合分布函数的性质单调性:有界性:右连续性:非负性:注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.第4页/共54页第四页，共55页。 5关于非负性的补充说明：第5页/共54页第五页，共55页。 6例1〔反例〕：函数 不满足非负性，故不能作为二维随机变量的分布函数. 第6页/共54页第六页，共55页。 7例2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为解：由分布函数的性质可以得到第7页/共54页第七页，共55页。 8第二节 二维离散型随机变量第8页/共54页第八页，共55页。 9一、二维离散随机变量对于二维随机变量(X,Y),如果 X 和 Y 都是离散型随机变量,则称(X,Y)是二维离散型随机变量。 第9页/共54页第九页，共55页。 10二、二维随机变量(X,Y)的联合分布列联合分布列的基本性质非负性：正则性：第10页/共54页第十页，共55页。 11例1 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2。从袋中任取一球,不放回袋中,再从袋中任取一球。记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.分析：与求一维分布列一样,确定取值,计算概率.第11页/共54页第十一页，共55页。 12第12页/共54页第十二页，共55页。 13例1* 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2。从袋中任取一球; 放回袋中,再从袋中任取一球。记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.第13页/共54页第十三页，共55页。 14例2 从 1,2,3,4 中取一数记为X,再从 1,…,X 中取一数记为Y,求(X,Y)的联合分布列及 P(X=Y)。…………………………第14页/共54页第十四页，共55页。 第15页/共54页第十五页，共55页。 第16页/共54页第十六页，共55页。 17第三节 二维连续型随机变量第17页/共54页第十七页，共55页。 181、定义:如果存在二元非负函数 p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)满足:则称(X,Y)为二维连续随机变量,p(x,y)称为(X,Y)的联合密度函数。注：在F(x,y)偏导存在的点处有：2、基本性质非负性：正则性：第18页/共54页第十八页，共55页。 19即密度函数在指定平面区域G上的二重积分。3、概率计算：补充说明：类似地,可以定义更高维的连续随机变量及其联合密度函数。并且,密度函数与分布函数有着相似的关系；其概率计算也与二维随机变量类似。第19页/共54页第十九页，共55页。 2011G1G2第20页/共54页第二十页，共55页。 21常用二维分布：第21页/共54页第二十一页，共55页。 222、二维正态分布：第22页/共54页第二十二页，共55页。 23例2 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，求(X,Y)的联合密度函数。解：区域G如图所示，故(X,Y)的联合密度函数为第23页/共54页第二十三页，共55页。 24第四节 边缘分布第24页/共54页第二十四页，共55页。 25一、边缘分布函数第25页/共54页第二十五页，共55页。 26第26页/共54页第二十六页，共55页。 27补充说明1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。2、类似可定义三维随机变量（X,Y,Z）的边际分布函数。 3、由联合分布还可以还可以反映X和Y的关系，这也是研究多维分布的原因所在。4、对联合分布与边际分布关系的研究，同样从离散和连续型两种随机变量分别说明。第27页/共54页第二十七页，共55页。 28二、边缘分布列对二维离散型随机变量(X,Y)，联合分布列为则(X,Y)关于X的边缘分布列为(X,Y)关于Y的边缘分布列为注:(X,Y)的联合分布列与边际分布列的关系， 通常可以用下面的表格来反映。第28页/共54页第二十八页，共55页。 29各行概率相加各列概率相加第29页/共54页第二十九页，共55页。 30例2 设(X,Y)的联合分布列如下,求其边际分布列。第30页/共54页第三十页，共55页。 31三、边缘密度函数第31页/共54页第三十一页，共55页。 32一般地，第32页/共54页第三十二页，共55页。 第33页/共54页第三十三页，共55页。 34第34页/共54页第三十四页，共55页。 35第