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河海大学理学院高等数学函数项级数会计学第1页/共41页一、函数项级数的概念1.定义:第2页/共41页2.收敛点与收敛域:第3页/共41页3.和函数:函数项级数的部分和余项( x 在收敛域上)注意函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.第4页/共41页解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.第5页/共41页原级数发散.收敛;发散;第6页/共41页二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:第7页/共41页证明第8页/共41页第9页/共41页由(1)结论，幂级数收敛域的可能情形：③既有使幂级数收敛的非零点, 又有使幂级数发散的点. 第10页/共41页如：除 x ＝ 0 外，其它点均发散 .②对于任意的 x ∈R , 幂级数都收敛 .如：则 D 有界 , 故存在 R0.第11页/共41页 当 | x | ＜ R 时, 幂级数绝对收敛. 当 | x | ＞ R 时, 幂级数发散. 当 | x | ＝ R 时, 幂级数可能收敛, 可能发散. 是收敛与发散的分界点.Abel几何意义:发散区域绝对收敛区域发散区域第12页/共41页推论定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.第13页/共41页收敛半径R的特征：第14页/共41页例 设幂级数 当 时发散,当 时收敛,则该级数的收敛半径是_____.第15页/共41页定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间.幂级数的收敛域有四种可能.规定问题如何求幂级数的收敛半径?第16页/共41页证明第17页/共41页由比值审敛法,第18页/共41页＝＋∞1定理证毕.注: 该定理反之不成立 .即 : 幂级数的收敛半径为 R ,未必 第19页/共41页例如的收敛半径是 R ＝ 1 .但收敛半径收敛区间第20页/共41页例1 求下列幂级数的收敛区域:解讨论端点该级数收敛该级数发散结论第21页/共41页第22页/共41页发散收敛故收敛区域为 (0,1].第23页/共41页解缺少偶次幂的项级数收敛,第24页/共41页级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为解法2(代换)| t | 4 ,发散;又 x ＝ 2 时 ,收敛 . x ＝－ 2 时 ,收敛 .第25页/共41页例3 若幂级数 的收敛域为 ( －4 , 4 ] ,写出 的收敛域 .[－2 , 2 ]解设 x2 ＝ t , 则| t | 4 ,收敛;| x | 2,发散.因此 | x | 2,收敛;第26页/共41页三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1) 加减法(其中第27页/共41页(2) 乘法(其中柯西乘积例:求 的收敛域 ,由根式判别法易得的收敛半径都是 3 ,第28页/共41页注: 两级数相加减或乘所得幂级数的半径 R ≥min { R1，R2} . 但当 R1 ≠ R2 时 , R＝ min { R1，R2} .及和s.解收敛域(-3,3)R≥ 3.又原级数在 x ＝ ±3 时发散 , 故其收敛半径 R＝ 3 .第29页/共41页(3) 除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:第30页/共41页(收敛半径不变)第31页/共41页(收敛半径不变)第32页/共41页思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？第33页/共41页思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？解不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是第34页/共41页求导,积分后的级数收敛区间不变,但收敛域会改变.一般而言，积分后收敛域可能会变大，求导后收敛域可能会变小.若x=R,幂级数发散，积分后新幂级数可能收敛；若x=R,幂级数收敛，求导后新幂级数可能发散．设原幂级数的收敛域为(-R,R),求导后新幂级数的收敛域是设原幂级数的收敛域为〔-R,R〕,积分后新幂级数的收敛域是(-R,R);〔-R,R〕.第35页/共41页解首先，该级数的收敛域为 (－1 , 1 ]两边积分得第36页/共41页令 x2 ＝ t , 即求 的和函数.第37页/共41页例5 求 的和函数 .解求导 , 得第38页/共41页所以，第39页/共41页解收敛区间(－1,1),四、小结第40页/共41页1.函数项级数的概念:2.幂级数的收敛性:收敛半径R和收敛域代数运算和分析运算性质3.幂级数的运算: