高数D一元函数积分学.pptx

高数D一元函数积分学会计学第1页/共40页一、知识点与考点(一)不定积分1.原函数与不定积分的定义:有设函数 f (x)在区间 I 内有定义,若则称F(x)为f (x)在区间 I 上的一个原称为 f (x) 函数.f (x)在区间I 上的全体原函数 F (x) + c ,在区间 I 上的不定积分,记为2. 不定积分的性质:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共40页3.不定积分与微分的关系(互逆运算)(1)(2)4.基本积分公式(1). (2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共40页(9).(10).(11).(12).(14).(13).(15).(16).(18).(17).(19).(20).(21).(22).机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共40页5.基本积分法:(1).直接积分法(2)换元积分法第一类换元积分法(凑微分法)常用凑微分公式:①②④③⑥⑤⑦⑧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共40页⑩⑨第二类换元积分法(变量代换法)①(根式代换)三角代换②(正弦代换)(正切代换)(正割代换)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共40页③万能代换:令则则有(3) 分部积分法①②积分步骤:例1.①凑微分选 u , v ;④③②代公式;③算微分 ;④求积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共40页(4) 有理函数的积分有理函数:时,为真分式;时,为假分式 .利用多项式综合除法, 总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分 式之和的形式 . 例如: _ _机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共40页 任何有理真分式通过部分分式均可化为下列四种类型:其中有理真分式的积分(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共40页(3)(4)(不作要求)有理函数虽然一定可积,注:但计算相当复杂,解题时应尽量寻求更为简便的方法,如凑微分法倒代换法等,避免使命一般方法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共40页例2. 将下列真分式分解为部分分式 :解:(1) 用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共40页(2) 用赋值法去分母,得恒等式令得故再令得(3) 用比较系数法去分母,得恒等式或比较恒等式两边 x 同次幂的系数得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共40页得(4) 综合法去分母,得恒等式再令得令得比较项的系数,得原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共40页(二) 定积分1.定积分的定义:2.定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和.(七条性质二条推论)3.定积分的性质:(1)(2)则有(3)(4)则有则有(5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共40页则推论1.推论2.(6) (定积分估值定理)若 M 和 m 分别是 f (x) 在[a ,b]上的最大值和最小值,则有 (7).(定积分中值定理)若f (x) 是[a ,b]上的连续函数,则在[a ,b]上至少存在一点? ,使等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共40页补充规定:(1)(2) 当a = b 时,(3)4. 定积分计算法(1)牛顿-莱布尼兹公式(2) 定积分换元积分法 (3).定积分分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共40页5.重要公式(1)则(2)若f (x)为[–a ,a]上的奇函数,若f (x)为[–a ,a]上的偶函数,则n为奇数(3)n为偶数注意:余弦函数无此性质!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共40页a为任意实数,(4) 若f (x)是周期为T的周期函数,则有:(三) 广义(反常)积分1.无穷区间的广义积分2.无界函数的广义积分(略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共40页(四)定积分的应用1.定积分微元法即有若整体量U在区间[a ,b]上具有可加性,而局部量 ?U ≈ du = f (x) dx则2.定积分在几何上的应用:(1). 平面图形的面积① 直角坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共40页②参数方程按顺时针方向决定起点与终点.起点x = a 对应参数 t = ?终点x = b 对应参数 t = ?(2)旋转体的