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* * 得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开 假设式 y =f(x,y) (a≤x≤b) 中的 f(x,y) 充分光滑,将y(xi+1)在x i点作Taylor展开，若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。 例如：取前两项可得到 9.4 龙格－库塔方法 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第1页。 * * 其中 P阶泰勒方法 若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式 类似地，若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值，便得到 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第2页。 * * 显然p=1时, y i+1=y i+hf(xi,y i) 它即为我们熟悉的Euler方法。 当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。这个计算量是很大的，尤其当f(x,y)较复杂时，其高阶导数会很复杂。因此，利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。 R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第3页。 * * 9.4.1 龙格-库塔(R-K)法的基本思想 Euler公式可改写成 则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。 Runge-Kutta 方法是一种高精度的单步法,简称R-K法 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第4页。 * * 同理，改进Euler公式可改写成 上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1, 且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。 局部截断误差为O(h3) 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第5页。 * * 于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第6页。 一般龙格－库塔方法的形式为 * * 其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。 称为P阶龙格－库塔方法。 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第7页。 * Runge-Kutta方法的推导思想 对于常微分方程的初值问题 的解y=y(x)，在区间[xi, xi+1]上使用微分中值定理，有 即 * 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第8页。 * 引入记号 就可得到相应的Runge-Kutta方法 * 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第9页。 * 如下图 即 则上式化为 即Euler方法 Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法 * 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第10页。 9.4.2 二阶龙格—库塔法 在[xi, xi+1]上取两点xi和xi+a2= xi +a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即 式中:K1为xi点处的切线斜率值 K1 =hf(xi, yi)=hy(xi) K2为xi +a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1，即可得 * * 确定系数 c1、c2、a2、b21 ，可得到有2阶精度的算法格式 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第11页。 * * 因此 将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开： 将 在x=xi处进行Taylor展开： 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第12页。 * * K1 =hf(xi, yi) 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第13页。 * * 这里有 4 个未知数，3 个方程。 存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。 令 对应项的系数相等，得到 龙格库塔法推导全文共31页，当前为第14页。 * * 注意到， 就是二阶龙格 - 库塔公式，也就是改进的欧拉法。 因此，凡满足条件式有一簇