行列式及其计算1.docxVIP

PAGE PAGE 10 行列式及其计算 行列式的定义： 方法一： n 阶行列式 D  a 11 a ? 21  a ... a 12 1n a ... a 22 2n ?  ? (?1)? ( p p ... p ) a a  ...a n ... ... a a n1 n 2 ... ... ... a nn  p p ... p 1 2 n 1 2 n 1 p 2 p np 1 2 n n 阶行列式是 n!项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 a a 1 p 2 p 1 2 ...a np n （ p p 1 2  p n 是1,2, , n 的一个排列）；（ 3 ）当 p ?1 ? p p 2 n 是偶排列时 , a a 1 p 2 p 1 2 ...a np n 带正号, 当 p 1 p p 2 n 是奇排列时, a a 1 p 2 p 1 2 ...a np n 带负号. a 方法二：定义二阶行列式 D = 11 2 a 21 a 12 = a a a 11 22 22 - a a 12 21 ，假设我们已经定义了 n ? 1阶 行列式，称由 n 行 n 列 n 2 个数构成的 D ? a 11 a 21 ... a n1 a 12 a 22 ... a n 2 ... a 1n ... a 2n ... ... ... a nn  为 n 阶行列式.定义 D 的值 为： D ? a 1n (?1)1?n M 1n ? a (?1)2?n M 2n 2n ? a ?nn ? (?1)n?n M nn ? a A 1n 1n a A 2n 2n ? a A . ?nn nn ? 其中 M ij 是 D ? a ij n 中划去元素 a ij 所在的第i 行与第 j 列，剩下的(n ? 1) 2 个元素按 原来的排列顺序构成一个 n ?1 级行列式， 称其为 ?i, j ? 位置元素 a 的余子式， ij A ? (?1)i? j M ij ij 称为元素a ij 的代数余子式. 行列式的性质与展开 行列式的性质 行列式 D 与其转置行列式 DT  相等(即 DT  ? D ). 交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即D r ?r i ? j ? D或D c ?c i ? j ? D ）. 行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子. 11）r ? (k ?0) c ? (k ?0) 1 1 ） i （即 D k? kD 1 i （或 D k? kD 1 n 阶行列式 D 可以按第i 行(或列)拆成两个行列式 D 与 D 1 2 的和，即 D ? D 1 D .其中 2 D 的第i 行(或列)为 D 与 D 1 2 的第i 行(或列)的和；D ，D ，D 1 2 的其余各行(或列)对应元 素则同的完全一样. 把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式 或）r ?kr c ?kc 或 ） 的值不变.（即 D 行列式的展开 i ? j D D 1 i ? j D 1 n 阶行列式 D 的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D . 行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0. ??D(i ? k ) ? ?即 a A ? i1 k1 a A i 2 k 2 ? a A in kn ? ? 0(i ? k ) a A 1 j 1t a A 2 j 2t ? a A ?nj nt ? ?? ?D( j ? t) ? ? 0( j ? t) 行列式计算的常用方法及注意事项： 1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）. 利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）. 化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）. 行列式化简时注意 尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(?1)i? j . 概念题 5x123x3x12 5x 1 2 3 x 3x 1 2 1 2 x 3 x 1 2 2x 5x 1 2 3 x - 3x 1 2 1 2 x 3 x 1 2 2x 的展开式中的常数项 及x4 、 x 3的系数 解： D 4 = f (x) = ， 0123001 0 1 2 3 0 0 1 2 1 2 0 3 0 1 2 0 0 0 3 0 1 展开式中的常数项为 f (0) = = 0 1 2 = 0 1 2 = 3 1 2 = - 3 1