合肥工业大学《大学物理》课件-第9章简谐振动.pptVIP

三、 简谐振动的矢量图示法 采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。 旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。 任意时刻 与参考方向x 的夹角 振动相位 逆时针方向 ω M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律： 的长度 旋转的角速度 旋转的方向 X O M P x 振幅A 振动圆频率 M 振动初相位 与参考方向x 的初始时刻夹角 速度、加速度的旋转矢量表示法： M 点: 沿X 轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。 两个同频率的简谐运动： 相位之差为 采用旋转矢量直观表示为： 一物体沿X 轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向 X 轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为： 其中A=0.12m, T=2s, 初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得 据初始条件 得 (2) 由(1)求得的简谐振动表达式得: 在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得 (3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 因该时刻速度为负，应舍去 ， 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是 因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： 另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为： o 旋转矢量法 (1) A=0.12m, T=2s, 初始条件：t = 0, x0=0.06m,正向 一物体沿X 轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向 X 轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。 (2) 代入计算 (3) o 四、几种常见的简谐振动 1、单摆 重物所受合外力矩： 据转动定律，得到 很小时(小于 )，可取 令 , 有 转角 的表达式可写为： 角振幅 和初相 由初始条件求得。 单摆周期 与角振幅 的关系为 为 很小时单摆的周期。 根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。 2、 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为C, 对过O 点的转轴的转动惯量为J, O、C 两点间距离的距离为h。 令 据转动定律，得 若 角度较小时 5. 简谐振动的能量 动能 势能 以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 系统总的机械能： 考虑到 ，系统总能量为 ，表明简谐振动的机械能守恒。 能量平均值 上述结果对任一谐振系统均成立。 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: §10-5 一维谐振动的合成 一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为： 合位移： 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。 旋转矢量图示法 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。 (1)当Df=f 20-f10=2kp (k=0及正负整数)，cos(f20-f10)=1, 有 同相迭加，合振幅最大。 (2)当Df=f 20-f10=(2k+1)p (k=0及正负整数), cos(f20-f10)=0, 有 反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。 讨论： (3)通常情况下，合振幅介于 和 之间。 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0, a, 2a, ..., 依次差一个恒量a，振动表达式可写成 求它们的合振动的振幅和初相。 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示： 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 a ，上图中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得 在三角形DOCM中,OM 的长度就是和振动位移矢量的位移,角度 就是和振动的初相，据此得 考虑到 当 时(同相合成)，有 二、同一直线两个不同频率的谐振动的合成 拍 两个简谐振动合成得： 当两个同方向简谐