2009年考研数学三真题.docx

2009 年全国硕士研究生入统一考试 数三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. x ? x3 函数 f (x) ? 的可去间断点的个数为：（ ） sin? x ? A? . 1 ? B? . 2 ?C ? . 3 ? D? .无穷多个 【答案】C 【解析】 f ? x? ? x ? x3 s i n? x 则当 x 取任何整数时， f ? x? 均无意义 故 f ? x? 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 x ? x3 ? 0 的解 x1, 2 , 3 ? 0,? 1 lim x ? x3 ? lim 1? 3x2 ? 1 x?0 sin ? x x ? x3 lim x?1 sin ? x x ? x3 x?0 ? cos? x ? ?1? 3x2 2 ? lim ? x?1 ? cos? x ? 1? 3x2 2 lim x??1 sin ? x ? lim ? x??1 ? cos? x ? 故可去间断点为 3 个，即0, ?1 当 x ? 0 时， f (x) ? x ?sin ax 与 g(x) ? x2 ln(1? bx) 是等价无穷小，则（ ） ? A? . a ? 1， b ?? 1 6 ? B? . a ? 1， b ? 1 6 ?C ? . a ? ?1， b ?? 1 6 ? D? . a ? ?1， b ? 1 6 【答案】 A 【解析】 f (x) ? x ?sin ax, g(x) ? x2ln(1? bx) 为等价无穷小，则 lim f (x)  ? lim x ?sin ax ? lim x ?sin ax  洛lim  1? a cos ax a2 sin ax 洛lim x?0 g(x) x?0 x2 ln(1? bx) x?0 x2 ? (?bx) x?0 ?3bx2 x?0 ?6bx ? lim a2 sin ax ? ? a3 ? ?a3 ? ?6b  故排除 B,C 。 1x?0 ? 6b ? ax 6b 1 a 另外lim x?0 1? a cos ax ?3bx2 存在，蕴含了1? a cos ax ? 0 ? x ? 0? 故 a ? 1.  排除 D 。 所以本题选A。 x sin t 使不等式 ?1 dt ? ln x 成立的 x 的范围是（ ） t ? A? . (0,1) ? B? . (1, ? ) 2 ?C ? . (? ,? ) 2 ? D? . (? , ??) 【答案】 A 【解析】原问题可转化为求 x sin t x sin t x 1 x sin t ?1 11?sin t f (x) ? ?1 t dt ? ln x ? ?1 t dt ? ?1 t dt ? ?1 t dt ? ?x dt ? 0 成立时 x 的 t 取值范围，由1? sin t ? 0 ， t ??0,1? 时，知当 x ??0,1? 时， f (x) ? 0 。故应选 A . t 设函数 y ? f ? x? 在区间??1, 3? 上的图形为： f f (x) O -2 0 -1 1 2 3 x x则函数 F ? x? ? ?0 x f ?t ? dt 的图形为（ ） f (x)1 f (x) 1 -2 0 1 2 3 x ? A? . -1  ? B? .  1 0 -2 1 -1  2 3 x f ( f (x) 1 -2 0 1 2 3 x f (x) 1 -1 0 1 2 3 ?C ? . ? D? . -1 【答案】 D 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y ? f (x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x ? x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ，从而可得出几个方面的特征： ① x ??0,1? 时， F(x) ? 0 ，且单调递减。 ② x ??1, 2?时， F (x) 单调递增。 ③ x ??2,3? 时， F (x) 为常函数。 ④ x ???1, 0? 时， F(x) ? 0 为线性函数，单调递增。 ⑤由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 D 。 设 A, B 均为 2 阶矩阵， A?, B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若| A |? 2,| B |? 3 则分块矩阵 ? 0 A? ? B 0 ? 的伴随矩阵为（ ） ? ? ? 0 3B* ? ? 0 2B* ? ? A? . ? ? ? B? . ? ? ? 2 A* 0 ? ? 3A* 0 ? ?