电动力学电动力学二二唯一性定理.pptxVIP

1 一、静电问题的唯一性定理 区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为i 。设V内有给定的电荷分布(x) 。电势φ在均匀区域Vi内满足泊松方程 第1页/共22页 2 除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的外边界S上的一些条件。 在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系 第2页/共22页 3 唯一性定理： 设区域V内自由电荷分布为(x) ，在V的外边界S上给定 （i）电势s 或 （ii）电势的法向倒数(/n)s 则V内的电场唯一地确定。 也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的或 /n值。 第3页/共22页 4 证明： 设有两组不同的解’和’’满足唯一性定理的条件。 由 得 令 第4页/共22页 5 在两均匀区界面上有 在整个区域V的边界S上有 或 第5页/共22页 6 考虑第i个均匀区Vi的界面Si上的积分 对所有分区Vi求和 在均匀区界面 内部边界积分相互抵消 第6页/共22页 7 这说明’和’’至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。 而右边被积函数i()2 0。上式成立的条件是在V内各点上都有=0 ，即在V内， 外边界因 积分亦为零 或 第7页/共22页 8 二、有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型： 一类是给定每个导体上的电势φi； 另一类是给定每个导体上的总电荷Qi。 第8页/共22页 9 如图设在某区域V内有一些导体，除去导体内部以后的区域为V’。设V’内有给定电荷分布ρ，S上给定了|s 或(/n)|s值。 第9页/共22页 10 第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的 或/n 值，则V内的电场唯一地确定。 第一类型：当每个导体上的电势φi给定时，即给出了V’所有边界上的 或(/n)值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知， V’内的电场被唯一确定。 第10页/共22页 11 在第i个导体上满足总电荷条件 和等势面条件 以及在V的边界S上具有给定的|s 或(/n)|s值。 也就是说，存在唯一的解， 它在导体以外满足泊松方程 第11页/共22页 12 证明 设有两个解’和’’满足 或 则满足 第12页/共22页 13 对区域V’用公式 第13页/共22页 14 上式左边的面积分包括V的边界S以及每个导体的表面Si上的积分。 在Si上的积分 在S上的积分 由此 第14页/共22页 15 即’和’’至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。 当导体外的电势确定后，导体上的电荷面密度由边值关系确定 第15页/共22页 16 例 如图2－4，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。 第16页/共22页 17 设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 解 第17页/共22页 18 如果我们假设E仍保持球对称性，即 此时边值关系得到满足。 由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系 第18页/共22页 19 导体球面上的积分 将电场值代入得 解出 第19页/共22页 20 则 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保持球对称性。 第20页/共22页 21 设内导体半径为a，则球面上的电荷面密度为 虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面密度σ不具有球对称性。 第21页/共22页 22 感谢您的观看！ 第22页/共22页