勒让德函数学习.pptxVIP

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2022-09-01 发布于上海
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勒让德函数学习.pptx

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2022-8-30 勒让德方程的引出勒让德方程的求解勒让德多项式函数展开成勒让德多项式的级数第1页/共46页 10.1 勒让德方程的引出第2页/共46页 2022-8-30 10.1 勒让德方程的引出在球坐标系下 Laplace方程的表达式为第3页/共46页 2022-8-30 10.1 勒让德方程的引出第4页/共46页 2022-8-30 欧拉型方程球函数方程欧拉方程通解 10.1 勒让德方程的引出第5页/共46页 2022-8-30 10.1 勒让德方程的引出第6页/共46页 2022-8-30 10.1 勒让德方程的引出和相应的本征函数第7页/共46页 2022-8-30 10.1 勒让德方程的引出第二个方程为连带的勒让德方程第8页/共46页 2022-8-30 勒让德方程 m=0时 6.1 勒让德方程的引出第9页/共46页 10. 2 勒让德方程的求解第10页/共46页 2022-8-30 10. 2 勒让德方程的求解考虑勒让德方程将其代入勒让德方程，得令第11页/共46页 2022-8-30 比较可得第12页/共46页 2022-8-30 c =0时 10. 2 勒让德方程的求解依此可得第13页/共46页 2022-8-30 10. 2 勒让德方程的求解第14页/共46页 2022-8-30 其中 10. 2 勒让德方程的求解第15页/共46页 10. 3 勒让德多项式第16页/共46页 2022-8-30 10. 3 勒让德多项式可以将其它系数一一推算出来，即将10.2中的递推公式写成第17页/共46页为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式, 并且使所得的多项式在x=1处取的值等于1, 取an为有第18页/共46页 2022-8-30 10. 3 勒让德多项式第19页/共46页 2022-8-30 10. 3 勒让德多项式 n为正奇数时，将这些系数代入到中得到这两个多项式可以统一写成 n 阶勒让德多项式第20页/共46页 2022-8-30 第21页/共46页 2022-8-30 图象第22页/共46页 2022-8-30 第23页/共46页 2022-8-30 勒让德多项式的微分表达式多项式的Rodrigues表达式 10. 3 勒让德多项式第24页/共46页 2022-8-30 此时Legendre方程的通解为 10. 3 勒让德多项式故必须取常数从而勒让德方程的解就只有第一类勒让德函数即勒让德多项式：第25页/共46页 2022-8-30 注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre 1725～1833）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为勒让德函数. 综合可得如下结论：（1）当不是整数时，勒让德方程在区间上无有界的解．第26页/共46页 2022-8-30 （2）当为整数时，勒让德方程的通解为，其中称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），称为第二类勒让德函数. 为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一类勒让德函数即勒让德多项式．因为第二类勒让德函数在闭区间上是无界的．第27页/共46页 2022-8-30 则称u(x,r)为勒让德多项式的生成函数（母函数）叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数） 10.5 勒让德多项式的生成函数（母函数）第28页/共46页 2022-8-30 如图10.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为的正电荷，则在球内任一点（其球坐标记作）的静电势为　　　　（10.5.1）静电势遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，因此，应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解的形式，第29页/共46页 2022-8-30 第30页/共46页 2022-8-30 即　（10.5.2）首先不妨研究单位球内的静电势分布．在球心，电势应该是有限的，故必须取（10.5.3）为确定系数，在上式中令，并注意到则得到　　　　　　　　　　（10.5.4）第31页/共46页 2022-8-30 将上式左边在的邻领域上展为泰勒级数　　　　　　（10.5.5）比较（10.5.4）和（10.5.5）即知于是（10.5.3）成为 (10.5.6) 若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有　　　　　（10.5.7）第32页/共46页