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(完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第61页。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第62页。 2）离散卷积定理 离散卷积定义： 空间滤波输出： 结论：空间域进行滤波的过程就是“卷积”的过程。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第63页。 证明：（1）空域卷积和 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第64页。 （2）频域卷积和： (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第65页。 离散的卷积原理基本上是和连续卷积相同，其差别仅仅是在与抽样间隔对应的离散增增量处发生位移，用求和代替微分，由于离散傅里叶变换和它的逆傅里叶变换都是周期函数，那么离散卷积定理应该和这个周期联系起来，就是让在计算卷积时让这两个离散函数具有同样的周期，否则将产生错误。 注意：利用FFT计算卷积时，为防止频谱混叠误差，需对离散的二维函数补零，即周期延拓，对两个函数同时添加零，使它们具有相同的周期。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第66页。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第67页。 0 200 400 200 800 3 0 200 400 2 800 0 200 400 2 800 周期延拓 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第68页。 周期延拓 的大小为 的大小为 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第69页。 空间域滤波和频域滤波的关系 空间域和频域的滤波器构成傅里叶变换对 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第70页。 相关定理 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第71页。 证明： (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第72页。 傅里叶变换是可逆的。 * 对于每一个u（频率），会得到一个具体的傅里叶系数。这个计算量是非常大的，在FFT出现之前，FT应用并不广泛。 * 一副图像（时间域）的傅里叶变换，仍然是一个函数，不过自变量为频率。即可以表示为另一副图像，即频谱图。 * 根据采样定理，连续带限函数可以完全从它的样本集恢复。 * 数字图像本身就是二维的，即f(x,y)。二维傅里叶变换才有应用价值。 * * (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第29页。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第30页。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第31页。 主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第32页。 例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。 解：源程序及运行结果如下： %对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱， %即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平 %移至中心后显示；以对数方式显示。 f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221),imshow(f,[]),title(单狭缝图像) F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换 S=abs(F); subplot(222) imshow(S,[]) %显示幅度谱 title(幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）) (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第33页。 Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,[]) ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:)) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显示 title(幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）) S2=log(1+abs(Fc)); subplot(224) imshow(S2,[]) title(以对数方式显示频谱) 运行上面程序后，结果如下： (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第34页。 (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第35页。 二维离散傅里叶变换的性质 线性性 证明： (完整版)精心整理图像的傅里叶变换全文共72页，当前为第36页。 %imagelinear.m %该程序验证了二维DFT的线性性质 f=imread(D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg); g=imread(D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).