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系统函数与系统特性 一、系统函数的零、极点分布图 LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点；B(.)=0的根?1，?2，…，?m称为系统函数H(.)的零点。 将零极点画在复平面上 得零、极点分布图。 例 例：已知H(s)的零、极点分布图如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表达式。 解：由分布图可得 根据初值定理，有 二、系统函数H(·)与时域响应h(·) 冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。 下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。 所讨论系统均为因果系统。 1．连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 （1）在左半平面 若系统函数有负实单极点p= –α(α0)，则A(s)中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t) (b) 若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因子[(s+α)2+β2]---?K e-αtcos(βt+θ)ε(t) (c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为 Kiti e-αtε(t)或Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r-1) 以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数 （3）在右半开平面 ：均为递增函数。 综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。 ①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。 ②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。 ③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。 　即当t→∞时，响应均趋于∞。 2．离散因果系统 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。 ③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均趋于∞。 三、系统函数收敛域与其极点之间的关系 根据收敛域的定义，H(·)收敛域不能含H(·)的极点。 例：某离散系统的系统函数 (1) 若系统为因果系统，求单位序列响应h(k); (2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k); (3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k); 解 (1) |z|3，h(k) =[(-0.5)k + (3)k]?(k) (2) |z|0.5，h(k) =[-(-0.5)k - (3)k]?(-k-1) (3) 0.5|z|3，h(k) = (-0.5)k ?(k) - (3)k?(-k-1) 四、系统函数与频率响应 1、连续因果系统 若系统函数H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=jω)也收敛，有H(jω)=H(s)|s= jω ， 下面介绍两种常见的系统。 （1）全通函数 若系统的幅频响应| H(jω)|为常数，则称为全通系统，其相应的H(s)称为全通函数。 凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。 （2）最小相移函数 右半开平面没有零点的系统函数称为最小相移函数。 解释见p336 2、离散因果系统 若系统函数H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上(|z|=1)也收敛，有H(ejθ)=H(z)|z= ejθ ， 式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。 系统的稳定性 一、因果系统 因果系统是指，系统的零状态响应yf(.)不会出现于f(.)之前的系统。 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|ρ0 二、系统的稳定性 1、稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定