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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三） （科目代码：303） （考试时间：上午 8:30-11:30） 考生注意事项 1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用 2B 铅笔填涂。 4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）函数的可去间断点的个数为 （A）1． （B）2． （C）3． （D）无穷多个． （2）当时，与是等价无穷小量，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （3）使不等式成立的的范围是 （A）． （B） ． （C） ． （D）． 123-112（4） 1 2 3 -1 1 2 则函数的图形为 23 2 3 1 -1 -1 1 2 3 1 -1 1 231 2 3 1 -1 1 2 3 1 -1 -1 1 （C） （D） （5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩 阵的伴随矩阵为 （A）． （B）． （C）． （D）． （6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且， 若，则为 （A）． （B）． （C）． （D）． （7）设事件与事件互不相容，则 （A）． （B）． （C）． （D）． （8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为 ，记为随机变量的分布函数，则函数 的间断点个数为 （A）0． （B）1． （C）2． （D）3． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9） ． （10）设，则 ． （11）幂级数的收敛半径为 ． （12）设某产品的需求函数为，其对价格的弹性，则当需求量为 10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元． （13）设，，若矩阵相似于，则 ． （14）设是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为 样本均值和样本方差，记统计量，则 ． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分9分） 求二元函数的极值． （16）（本题满分10分） 计算不定积分 ． （17）（本题满分10分） 计算二重积分，其中． （18）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在内可导，则存在 ，使得； （Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且， 则存在，且． （19）（本题满分10分） 设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与 直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积 值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程． （20）（本题满分11分） 设，， （Ⅰ）求满足，的所有向量； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量，证明线性无关． （21）（本题满分11分） 设二次型． （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值． （22）（本题满分11分） 设二维随机变量的概率密度为 （Ⅰ）求条件概率密度； （Ⅱ）求条件概率． （23）（本题满分11分） 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球．现有回放地从袋中取两次，每次取一个球， 以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求二维随机变量的概率分布．