高二数学典型例题分析：不等式的应用.docx

高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有@ 版权所有@高考资源网 - PAGE 1 - 不 等 式 的 应 用·例题 例 5-4-1 求下列函数的定义域： 解 (1)所求定义域是下列不等式组的解： 所求定义域确定于不等式组： 由上图可知，当且仅当k=0，1 时，不等式组有解，其解集为(-5，-π )∪(1， π ]，此即所给函数的定义域。 例 5-4-2 求下列函数的值域： 解 (1)原式两边乘以x2+1，再移项、整理，得 (y-1)x2-2x+(y+1)=0 当 y≠1 时，因 x∈R，故上式作为 x 的二次方程，其判别式非负，即 等号成立)。 当 y=1 时，相应地有 x=1，故 y=1 也属于定义域。 所给函数的值域为[2，+∞)。 也可利用判别式求解。读者不妨试试。注 利用判别式求值域要注意两点： 二次项的系数不得为零。如果有可能为零，则对于使系数为零的y 值，应检验它是否属于函数值域，即是否存在相应的 x 值与之对应。如果不存在，则函数的值域不包括此 y 值。 不等式“△≥0”中的等号是否可取，可取则此法有效，不可取 +∞)，而用判别式法，则由△=y2-4≥0(y＞0)得[2，+∞))，值域扩大了。 例 5-4-3 求下列函数的值域： 解 (1) [法一] 原式两边平方并整理，得 所以 y2≥1；又 y≥0，所以 y≥1(当 x=0，1 时取等号)。另一方面，两边再次平方并整理，得 4x2-4x+(y2-1)2=0 [法二] 函数的定义域为 0≤x≤1。由幂平均不等式，有 [法三] 两边平方并整理，得 是，1-x=cos2θ ，所给函数可化为 y=sinθ +cosθ ，即 (2)所给函数可表示为 此函数在[0，+∞)内递减，故有 y≤1。 注 对于(2)，采用平方法易导至错误结果： x2-(2y-1)x+(y2-1)=0 a 的取值范围。 解 [法一] f(x)有意义等价于a≠0，且 1+2x+1a-4x＞0(x≤-1)。 二次方程 t2-2at-1=0 的判别式Δ=4a2+4＞0，因此它有两个相异的 [法二] 由 1+2x+1a-4x＞0 得 含义，这是容易出错的疑难点． ∈R，使得不等式 对一切实数 x 都成立？证明你的结论． 由(i)，(ii)得 由(i)，(iii)得 故 a≠1，且 容易验证，这时 f(x)的确使得 对一切 x∈R 都成立，故命题得证． 注 以上证明中两次用到命题“若x≥a 且 x≤a，则x=a．”这种由双向不等式得出等式的方法，是数学的基本证题技巧之一． 例 5-4-6 已知圆锥的高为 h，母线与轴的夹解为θ ．在此圆锥内作一个内切 球 O ，再作一个与圆锥侧面相切并与球O 外切的小球 O ．若θ 使球 O 的体积最大， 1 求出这时的 sinθ ． 1 2 2 分析 欲得球的体积最大，须使其半径最大． 解 圆锥的轴截面如图所示．设球O 1 的半径为 x，球 O 1 与母线 OA 切于 T，则 O T=x，OO =h-x．因∠O OA=θ ，故 1 1 1 设球 O 2 的半径为 y，球 O 2 与球 O 1 相切于 P．类似地，有 t 的方程，得(z+1)t2+(2z-1)t+z=0 时， 例 5-4-7 设 x，y，z∈R．在实数集内解下列方程和方程组： (1)(x2+1)(y2+2)(z2+8)=32xyz 解 (1)由平均值不等式知 两处“≥”中等号同时成立的条件是 x2=1，y2=2，z2=8，且 x，y，z 或者三者都为正，或者两负一正．故原方程有 4 解 (2)由 x2+y2≥2|xy|，y2+z2≥2|yz|，z2+x2≥2|zx|可得 x2+y2+z2≥|xy|+|yz|+|zx|≥xy+yz+zx 两处等号同时成立的条件是：|x|=|y|=|z|，且x，y，z 三者或同时为零，或同时为正数，或同时为负数．在此条件下，第二个方程化为 2x2- 注 以上利用不等式中等号成立的条件解方程或方程组，具有出奇制胜的效果． 例 5-4-8 民用住宅设计，规定窗户面积必须小于地面面积．但按采光标准， 窗户面积与地面面积的比值应不小于 1∶10，比值越大，采光条件越好．如果同时增加相等的窗户面积和地面面积，问采光条件会变好还是变坏？说明理由． 解 设窗户面积为 a，地面面积为b，增加的面积为 m，则有 0＜ 故采光条件会变好．