高二数学椭圆的知识点与例的题目.docx

实用标准文案 精彩文档 精彩文档 高二数学《椭圆曲线知识点与例题》 1 椭圆定义： 平面内与两个定点 F , F 的距离之和等于常数（大于| F F  |）的点的轨迹叫作椭圆， 1 2 1 2 PF1 P F1 F2 两个定点---两点间距离确定 绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（?线段） 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（?圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点 F , F 的直线为 x 轴，线段 F F 的垂直平分线为 y 轴 1 2 1 2 设 P(x, y) 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c ? 0 ）. ?则 F (?c,0), F ? (c,0) ，又设M 与 F , F 距离之和等于2a ( 2a ? 2c )（常数） 1 ? P ? 2 P PF 1 ? PF 2 1 2 ? 2a (x ? c) 2 ? (x ? c) 2 ? y 2 y P F 1 O F 2 x ? 1 (x ? c) 2 ? y 2 (x ? c) 2 ? y 2 (x ? c) 2 ? y 2 化简，得 (a 2 ? c 2 )x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ， 由定义2a ? 2c ,? a 2 ? c 2 ? 0 令? a 2 c 2 ? b2 代入，得 b2 x 2 a 2 y 2 ? a 2b2 ， 两边同除a 2 b 2 得 x 2 ? y 2 ? 1 a 2 b 2 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上，焦点是 F 1 (?c,0)F 2 (c,0) ，中心在坐标原点的椭圆方程 其中a 2 ? c 2 b 2 y 公式推导： 平面内两个定点 F , F M 之间的距离为 2，一个动点 M 到这两 1 2 个定点的距离和为 6.建立适当的坐标系，推导出点M 的轨迹方程. F 1 O F2 x 选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法. 解：建立直角坐标系 xoy ,使 x 轴经过点 F , F ，并且点O 与线段 F F 的中点重合. 1 2 1 2 设 M (x, y) 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2ｃ(ｃ＝1)，M 与 F , F 的距离的和等于常数 6，则 F , F 1 2 的坐标分别是(-1，0)，(1，0). 1 2 ∵ MF ? 1 (x (x ? 1) 2 ? y 2 , MF ? (x (x ? 1) 2 ? y 2 (x (x ? 1) 2 ? y 2  ( (x ? 1) 2 ? y 2 ? 6 . 将这个方程移项后，两边平方，得 (x ?1)2 ? y 2(x ?1)2 ? y 2(x ? 1)2 ? (x ?1)2 ? y 2 (x ?1)2 ? y 2  ? (x ?1)2 ? y 2 , 两边再平方，得：81 ?18x ? x 2 ? 9x 2 ?18x ? 9 ? 9 y 2 整理得： 8x 2 ? 9 y 2 ? 72 x 2 两边除以 72 得： y 2 ? 1. 9 8 说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程. 例题 已知B，C 是两个定点，｜BC｜＝6，且?ABC 的周长等于 16，求顶点A 的轨迹方程解：以 BC 所在直线为 x 轴，BC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系，设顶点 A(x, y) ，根据已知 条件得|AB|+|AC|=10 再根据椭圆定义得a ? 5, c ? 3, b ? 4 yA y A B O C x x 2 ? y 2 ? 1 （ y ≠0）（特别强调检验) 25 16 因为 A 为△ABC 的顶点，故点 A 不在 x 轴上，所以方程中要注明 y ≠0 的条件 基本练习： x 2 2.椭圆 y 2 ? 1的左右焦点为 F , F ，一直线过F 交椭圆于A、B 两点，则?ABF 的周 16 7 长为 （ ） 1 2 1 2 A.32 B.16 C.8 D.4 答案：B 3.设? ∈(0, ? x 2 y 2 ?)，方程 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则? ∈ 2 sin? cos? ? ? ?  ? ? ? A.(0, 答案：B ] B.( , ) 4 4 2 C.(0, ) D.［ , ) 4 4 2 如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 . ?? 2 ? x 2 分析：将方程整理，得 2 y 2 2 ? 1，据题意? k ? 2  ，解之得 0＜k