2013考研数学（三）真题答案..docVIP

2013年考研数学(三)试题答案速查 一、选择题 （1）D （2）C （3）B （4）D （5）B （6）B （7）A （8）C 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）. （16）. （17）. （18）（Ⅰ）. （Ⅱ）当时，边际利润为.经济意义为：当时，销量每增加一件， 利润增加. （Ⅲ）. （19）略. （20）当时,,其中为任意常数. （21）略. （22）（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）. （23）（Ⅰ）.（Ⅱ）. 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】D. 【解答】由无穷小量的定义可知答案（A）（B）（C）均正确．对于答案（D）可举反例， ，． （2）【答案】C． 【解答】由函数形式可以判断，在处可能是可去间断点，在该点分别求极限，有，故不是可去间断点. ，是可去间断点. ，是可去间断点. （3）【答案】B. 【解答】由题目条件可知，积分关于轮换对称，所以. 在第二象限，，在四象限，所以答案选B. （4）【答案】D． 【解答】答案D为正项级数收敛的极限审敛法，故正确.其余选项，均可找到反例， 对于选项（A）构造反例，满足，但． 对于选项（B）构造反例收敛，则收敛，但没有单调性. 对于选项（C）构造反例收敛，而不存在． （5）【答案】B． 【解答】对矩阵分别按列分块,不妨设 ,． 可见矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表出. 再可逆可得，同理有矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表出,即二者等价,故选答案B． （6）【答案】B． 【解答】不妨设. 因为， 所以，当时，矩阵的特征值分别为,且可为任意常数. 显然可得矩阵的特征值分别为,故选答案B. （7）【答案】A. 【解答】由题目条件,因为,所以 . 因为，,,所以， . . 通过数值比较可知，故选答案A. （8）【答案】C. 【解答】由和的概率分布，可知 ． 又二者相互独立，所以 ． 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】. 【解答】因为二曲线有公共的切线，所以二者在点处有交点，且在该点的导数值相同，因此有，. . （10）【答案】. 【解答】方程可变型为，方程两端对变量求导，得 ， 当时，得，代入上式可得. （11）【答案】. 【解答】 . （12）【答案】. 【解答】原方程对应的特征方程为，有两个相同的实根. 由微分方程解的结构可得答案. （13）【答案】. 【解答】因为，所以.再由,得，有 .由于矩阵为三阶非零矩阵,所以不全为.不妨设,而 ,所以. （14）【答案】. 【解答】由期望的定义得，其中． ，其中，函数为正态分布 的密度函数，所以为的期望． 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：因为当时，与是等价无穷小，所以 ，又因为 . 所以，时，上式极限存在. 当时，，得. 所以. （16）（本题满分10分） 解：由旋转体积公式得： ， 由已知条件知，，故，所以. （17）（本题满分10分） 解：直线与两条直线的交点分别为和，则 积分区域可以分割为两部分，所以， . （18）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）设利润为，则， 所以边际利润为. （Ⅱ）当时，由，得，所以.经济意义为：当时，销量每增加一件，利润增加. （Ⅲ）令，得，又.此时解得为最大利润. （19）（本题满分10分） 证明：（Ⅰ），所以存在,当时，. 又在上连续，根据连续函数介值定理，存在，使得. （Ⅱ）在上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，存在， 使得，即. （20）（本题满分11分） 解：由题意可设,则成立的充要条件是方程组 ① 有解. 对①的增广矩阵利用初等变换得 . 当或时,线性方程组①无解. 当时,线性方程组①有解, ， 通解为（为任意常数）. 综上,当且仅当时,存在满足条件的矩阵,使,且 （为任意常数）. （21）（本题满分11分） 证明：（Ⅰ）记,由于 , 又为对称矩阵,所以二次型的矩阵为. （Ⅱ）记.由于正交且均为单位向量,所以 ,则为的对应于的特征向量；,则为的对应于的特征向量. 又,，所以也是矩阵的一个特征值,故在正交变换下的标准形为. （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为，已知且 所以，