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2022年考研数学（二）试题答案速查 一、选择题 （1）C （2）D （3）B （4）C （5）A （6）D （7）A （8）B （9）D （10）C 二、填空题 （11） （12） （13） （14）为任意常数. （15） （16） 三、解答题 （17） （18）. （19） （20）（1）；（2），极小值为 （21）略 （22）（1）， . （2） 2022年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)参考答案 一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）【答案】（C）. 【解析】 ①若，则.因此，①正确. ②错，反例; ③若，则，则， 因此，③正确. ④若，则，则，则，即，④正确. 因此真命题有①③④，选C. （2）【答案】（D） 【解析】 （3）【答案】 （B） 【解析】 在处二阶可导，则在处一阶连续可导，若，则在的邻域内均大于0（局部保号性），因此在此邻域内单调增． （4）【答案】（C） 【解析】 综上，正确选项为（C）． （5）【答案】（A） 【解析】先考虑， 若，因为，而收敛，故也收敛； 若，，且发散，故也发散. 再考虑，， 故与同敛散，故，即，选（A）. （6）【答案】（D）. 【解析】取，则（A）、（B）、（C）均错， 且（D）的“不一定存在”是正确的；（D）的“存在”的原因：当时，，而在上单调，故存在. （7）【答案】(A) 【解析】比较,令则,又所以,; 再比较,令 其中,则，故选(A). （8）【答案】（B） 【解析】A有个不同特征值，故一定可以对角化存在可逆矩阵，使得. （9）【答案】（D） 【解析】.当且且时，有唯一解；当或或时均有无解. （10）【答案】（C） 【解析】 已知与等价，则 当时，与向量组等价矛盾，故 当时，与向量组等价矛盾，故 故排除；当，，故排除，于是该题选择. 二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． （11）【答案】 【解析】 （12）【答案】 【解析】 同时对原等式两端求导：； 再次求导：， 当 （13）【答案】 【解析】 （14）【答案】 为任意常数. 【解析】微分方程对应特征方程为：.可得特征值为.所以原方程的通解为： 为任意常数. (15) 【答案】. 【解析】 (16)【答案】 【解析】， 则 故 解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）【答案】. 【解析】在处可导，则在处连续， 建议更改：由显然可得： 建议更改： 由显然可得： 原式 (18)【答案】. 【解析】由， 又， 即 从而弧长 (19)【答案】 【解析】设，其中 ， ， 则二重积分 其中： ； 又关于轴对称，则； 故 （20）【答案】（1）；（2），极小值为 【解析】（1），令, （2） ,又 所以, 令得 令得或 得为极小值; 得在处不是极值. (21) 【证明】，介于与之间， 必要性：若，则，有. 充分性：若存在使得，因为有二阶连续导数，故存在使得在内恒小于零，记, 此时 ，矛盾！故. 综上，充分性必要性均得证. （22）【答案】（1）， . （2） 【解析】 （1）， 二次型矩阵为，则特征方程为 得特征值. 当时，得 当时，得. 将正交单位化得 可得，即 (2) 由（1）知，，故 故 当时，可取到最小值. 所以存在非零向量，即存在非零向量，使得取到最小值.得证.