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多边形及其内角和 知识点一：多边形及其相关概念. 名称 内容 多边形 在平面内，由一些线段首位A 顺次相接组成的封闭图形\ E叫作多边形，如右图,\// 是五边形ABCDECDF 内角 多边形相邻两边组成的角叫作它的内角，如/B 外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角，如 zEDF是五边形ABCDE的一个外角 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线，如 AC是五边形ABCDE的一条对角线 凸多边形 画出多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线 的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形（本节只讨论凸多边形） 正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形 典例1【基础题】下列图中的各图是不是多边形？如果是，说出① ① ①② ① ② 解析：①是多边形，是四边形；②是多边形，是六边形；③和④不 是多边形. 解法归纳： 判断一个图形是不是多边形要抓住四个要点： (1 )在平面内；(2 )不少于三条线段;(3 )首尾顺次相接；(4 ) 是封闭图形. ★特别提醒： (1)多边形有几条边就是几边形，且顶点个数、内角个数均与边数相等，外角的个数等于边数的2倍； (2 )三角形没有对角线. 知识点二：多边形的对角线. .定义 连接多边形不相邻的两个顶点的线段. .计数 (1)从同一顶点出发引出的对角线条数：(n-3 )条；n ( n-3 ) (2 )对角线总条数一~ 一条； (3 )从同一顶点出发的对角线分多边形所得三角形的个数(n-2 ) 个. 典例2【基础题】假设从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 出10条对角线，那么它是( A.十三边形B.十四边形C.十五边形D.十六边形 解析:从n边形的一个顶点出发引出的对角线条数是（n-3 ）条， 所以n-3 = 10 , n = 13 ,即这个多边形是十三边形，应选A. 视野拓展：对角线是一个新概念，它的重要意义在于它的作用， 即通过它可以把多边形分成几个三角形，从而把多边形问题转化为三 角形的问题来解决. 知识点三：多边形的内角和.【重点】 内容 推理过程 应用 方法 图形 （1）边 数，求内角 和；（2 ）已 知内角和， 求边数；（3 ） 正n边形的 每条边，每 个角都相 等，根据内 角和，可以 得出正n边 形每个内角 的度数为 n边形 内角和 等十 (n-2) xl80° (n3) 方法一:从n边形的一个顶 点引出（n-3 ）对角线把n 边形分成（n-2 ）个三角形， 每个三角形的内角和是 180°所以n边形的内角和 是（n-2） x 180° An…… /TA， Ai/ \a4 X A3 方法二：在n边形内任取一 个点，连接 PAi , PA2 ,...... PAn片巴n边形分成n个三 角形，这n个三角形的内角 和为nxl80\再减去一个 周角，即得n边形的内角和 An … /\ z；5 A4 0 A2A3 是(n-2 ) xl80° (n?2) xl800 n 典例3【基础题】(1)求十一边形的内角和； (2 )假设一个多边形内角和为1800。，试求这个多边形的边数 解析：(1)由多边形内角和公式，得(11-2 ) xl80°=1620° ,所以十一边形的内角和为1620。； (2 )设这个多边形的边数为n ,由多边形内角和公式，得(n-2 ) 、180。二1800。，解得n = 12,所以这个多边形的边数是12. 知识点四：多边形的外角和. 相关概念典例4【基础题】如果正多边形的一个外角是72。，那么它的 边数是. 内容 推导过程 应用 多边形的外 多边形的每个内角和与它相邻 (1)外角度数 角和等于 的外角都是邻补角，所以n边 求正多边形的边数； 360°(每个顶 形的内角和加上外角和为nx (2 )正多边形 点取一个外 180。，夕卜角和等于nxl80°- 的边数求外角度数 角) (n-2 ) xl80°=360° 解析：方法一：因为正n边形的每个内角都相等，那么每个外角 也都相等,其外角和为360。，所以该正多边形的边数为 360°-72°=5. 方法二：因为正多边形的外角是72° ,所以内角是180°-72° 二108。，设这个多边形的边数为n ,贝I」108°xn=(n-2 ) xl80° ,所 以 n = 5. 归纳总结： (1)多边形的外角和恒等于360。，与边数多少无关; (2 )正n边形的每个内角都相等，那么每个外角也都相等，其外360° 角和为360。，所以正n边形的每个外角度数都为一.