导数的应用修订版本.docxVIP

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 第四节 导数的应用 一. 函数单调性的判别： 1 ．单调性判别定理 I：如果函数 f (x) 在区间I 上可导，那么： ? 函数 f (x) 在区间I 上单调增加一 函数 f (x) 在区间I 上的导数f ,(x) 0 ? 函数 f (x) 在区间I 上单调减少一 函数 f (x) 在区间I 上的导数f ,(x) 共 0 2 ．单调性判别定理 II：如果函数 f (x) 在区间I 上可导，那么： ? 函数 f (x) 在区间 I 上严格单调增加 一 函数 f (x) 在区间 I 上的导数 f ,(x) 0 且导数等于零的点至多为可列个 ? 函数 f (x) 在区间 I 上严格单调减少 一 函数 f (x) 在区间 I 上的导数 f ,(x) 共 0 且导数等于零的点至多为可列个 推论：设函数f (x) 在区间I 上可导，那么： ? 如果函数 f (x) 在区间I 上的导数 f ,(x) 0 ，则函数 f (x) 在区间I 上严格单调 增加 ? 如果函数 f (x) 在区间I 上的导数 f ,(x)想 0 ，则函数 f (x) 在区间I 上严格单调 减少 例：判别函数f (x) = x3 的单调区间；判别函数f (x) = 3x4 一 4x3 +1 的单调区间 1 求证：当x 1 时恒有2 x 3 一 求证：当x 士 0 时恒有ex 1+ x x 求证：方程x 一 sin x2= 0 只有一个根x = 0 3. 单调性判别定理 III：如果函数 f (x) 在区间I 上可导且 f ,(x) 士 0,x = I ，则函数 f (x) 必在区间I 上严 格单调 证明：只需用反证法证明： Vx , x = I 上必有 f ,(x )f ,(x ) 0 1 2 1 2 二. 函数凹凸性的判别： 1. 凹凸函数的特征 I：如果函数 f (x) 在区间I 上可导，那么： ? 函数 f (x) 是区间I 上的下凸函数 一 导函数 f ,(x) 在区间I 上单调增加一 对于区间I 上任意两点 x, x 恒有： f (x) f (x ) + f ,(x )(x 一 x ) ，亦即：曲线 f (x) 总是不低于其在区间 I 上任一点处 0 0 0 0 的切线 ? 函数 f (x) 是区间I 上的上凸函数 一 导函数 f ,(x) 在区间I 上单调减少一 对于区间I 上任意两点 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. x, x 恒有： f (x) f (x ) + f (x )(x x ) ，亦即：曲线 f (x) 总是不超过其在区间 I 上任一点处 0 0 0 0 的切线 2. 凹凸函数的特征 II：如果函数 f (x) 在区间I 上可导，那么： ? 函数 f (x) 是区间I 上的严格下凸函数一 导函数 f (x) 在区间I 上严格单调增加一 对于区间I 上 任意两点 x, x 恒有： f (x) f (x ) + f (x )(x x ) ，亦即：曲线 f (x) 总是位于其在区间 I 上任 0 0 0 0 一点处的切线的上方 ? 函数 f (x) 是区间I 上的严格上凸函数一 导函数 f (x) 在区间I 上严格单调减少一 对于区间I 上 任意两点 x, x 恒有： f (x) f (x ) + f (x )(x x ) ，亦即：曲线 f (x) 总是位于其在区间 I 上任 0 0 0 0 一点处的切线的下方 3. 凹凸性的判别定理 I ：如果函数 f (x) 在区间I 上二阶可导，那么： ? 函数 f (x) 是区间