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九、正交归一完备函数组 p 引 言 A.后续S方程应用要用到一些特殊函数，要清楚理解这些 特殊函数，要先补充说明一些数学基础知识； B.同时要注意的是，这些内容也是后续课本第三章相关 理论理解所需的数学基础知识。 p 正交性与归一性 Ø 在展开区间[a,b]内为连续变量的二函数 f 和 g （一般 b * 讲是复变函数）的内积是 f |g a f (x) g(x)dx Ø 书写顺序要注意 （实函数无关） * * * g |f  g(x) f (x)dx ( f (x) g(x)dx)   * f |g Ø 二函数 f 和 g在区间[a,b]内的内积为零， b b * * f |g a f gdx 0 a g fdx g |f  正交 Ø 函数在区间[a,b]的范数是函数和自身的内积，可用符 b * 号N表示：N(f ) f |f  a f f dx f | f  1 Ø 若一函数的范数是一，即 ，则称该函数是归 一化的。 思考： 若函数不归一化，如何归一化？ 1 f /N2 假定f 的范数是N ，那么函数 的范数为一。 f f 1 N  1 | 1  f |f  1 因为， 。 N N 2 2 N N 将函数除以它的范数的平方根的过程称为将函数归一化。 函数的范数是实的、正的： * 2 2 f f Ref -iImf Ref +iImf Ref + Imf        p 完备性 {F} 完备