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近世代数试题（DOC） 定理2.21 循环群的子群是循环群。 例5 求出模12的剩余类加群Z的所有子群。 12 设A是一个非空集合，A到A自身的映射称为A的变换，A到A的自身的满射称为A的满变换，A到A自身的单射称为A的单变换，A到A自身的双射称为 AA的一一变换，将A的所有变换所组成的集合记作A,A的所有一一变换所组成的集合记作E(A),变换的合成又称为乘法，通常把乘号省略不写。 定理2.22 设A是一个非空集合，则 A?A关于变换的乘法是一个半群; ?E(A)关于变换的乘法是一个群。 定义2.13 E(A)称为A的一一变换群，E(A)的子群称为A的变换群。 定理2.23 n次对称群S的阶是n～. n 123123123,,,,,,,,,,,,123213321例4 三次对称群S的阶是6，其元素分别为 ,,,,,,3,,,,,,,,,,,,123123123,,,,,,,,,,,,132231312 ,,,,,, ,,,,,,,,,,,, 123123123,,,,,,,,,,,,132213312而且= ,,,,,, ,,,,,,,,,,,, 123123123,,,,,,,,,,,,213132231=所以S是非交换群。 ,,,,,,3,,,,,,,,,,,, r,1定义2.15设在n次置换σ下，j的像是j， j的像是j，…j的像是j，j1322rr的像是j，其余的数字(如果还有的话)保持不变，则称σ是一个r项循环置换，1 r,1记作σ=(jj…j)也可以记作σ=(j j…j j)，…，σ=(j j…j). 131122rrr1项循环置换(j)是恒等置换，2项循环置换(j j)又称为对换。 12 定理2.24 任何一个n次置换σ都可以表成互不相交(无公共数字)的循环置换的乘积。 定理2.25 当n?2时，任何一个n次置换σ都可以表成对换的乘积。 定理2.27 循环置换具有下列性质: ?(jj…j)的阶是r; 12r ,1?(jj…j)=(j…j j); 1122rr ?奇项循环置换是偶置换，偶项循环置换是奇置换; ?两个不相交循环置换可以交换。 定义2.17 设G与G′都是群，f是G到G′的映射，若f保持运算，即 f(x,y)=f(x)f(y),,则称f是G到G′的同态。 ,x,y,G ,x,G例1 设G与G′都是群，e′是G′的单位元，令f(x)= e′,,则称f是G 到G′的一个映射，且，f(x,y)= e′= e′e′f(x)f(y)，所以f是G到G′,x,y,G 的同态，称为零同态 ,n,Z例2 设(Z，+)是整数加群，(Z，+)是模m的剩余类加群，令f(n)= ,,,,nm 则f是(Z，+)到(Z，+)的一个满映射，且，,n,n,Zm12f(+)==+=,所以f是(Z，+)到(Z，+)的满,,,,，，，，nnn，nn,,nfn，fn同态 定理2.28 设f是群G到群G′的同态 ?若e是G的单位元，则f(e)是G′的单位元 ,1,1,a,G?，; ，，f，，a,fa ,a,G?，若|a|有限，则|f(a)|也有限，且|f(a)| ||a|; ?若H?G，则f(H) ?G′; ,1?若H′=G′，则,H′,?G f 定理2.30 设f是群G到群G′的同态，e是G的单位元，则 ?f是满同态; ,Imf,G ?f是单同态,, ,Kerf,e 定理2.31 (Cayley)任意一个群G都与一个变换群同构 定理2.32 设G=(a)是循环群 ?|a|=?,则G(Z，+) , ?|a|=m,则G(Z，+) ,m 定义2.19 设H?G，由等价关系R所决定的类称为H的左陪集 l 定理2.34 设H?G,则包含元素a的作陪集等于aH 定理2.35 设H?G，则下列各命题成立 ,aH?a ,1,aH,bH,,,ab,H,b,aH,bH,aH?aH=bH特别， aH,H,a,H;eH,H ?在aH与H之间存在一个双射 定义2.20 设H?G，由等价关系R所决定的类称为H的右陪集 r 定理2.36 设H?G，则包含元素a的右陪集等于Ha，而且下列各命题成立: ,Ha?a ,1,Ha,Hb,,,ba,H,b,Ha,Hb,Ha?Ha=Hb,特别 Ha,H,a,H;He,H ?在Ha与H之间存在一个双射 这样，对于任意一个群G，设H?G，则G可以分解成H的互不相同的右陪集 G,UHa的并:称为G关于H的右陪集分解 a,G 定义2.21 设H?G，H在G中左陪集(或右陪集)的个数称为H在G中的指数，记作 ,,G:H 定理2.38 (Lagrange(拉格朗日))设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H| ,,G:H推论1 有限群G的每一个元素都是|G|的因数 推论2 素数阶的群都是