第四章线性方程组.docx

2008 年考试内容 第四章 线性方程组 线性方程组的克莱姆 （ Cramer）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解 2008 年考试要求 会用克莱姆法则。 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。 一、三基与拓展 1 n 元齐次方程组1） 一定有解 。2）解的结构 Ax 0 ( n 为未知数的个数 ) 的解系统 r A n 有唯一零解； r A n 有n r A 个线性无关的解向量，称为基础解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式） ，它构成解的线性空间 S（称为解空 间），解得空间维度为 R S n r A ，它是一个极大无关组， 都可以由他们线性表出，即 Ax 0 的任何一个解 A x 0 解的性质 x 1k 1 k2 2 n kR A n R A i 为k不全为零的任意常数 若 1 , 2 是 Ax 0 的解，则 1 2 , k 1 , k 2 也是 Ax 0 的解。 陈氏第 26 技 RREF法全面解决 Ax 0 和 Ax b 的解。 求解 Ax 0 的方法定势 --- RREF 法 ① 将 A 化为简化行阶梯形（ RREF），如有 r 个非零行，则基础解系中有 n r 个解向量； ② 选非主元所在的列的对应的变量为自由未知量，共有 n r 自由未知量； ③ 将自由未知量表示为主元的线性叠加的， 表示式中的系数为对应非主元列向量 1 0 0 0 的负值， 缺少的主元分别取 n r 个线性无关的单位向量 0 1 0 0 , , 之一， 依次补 0 1 满到 n 维向量，并把每一未知量的解向量全部元素化为互质整数，这样求得的 n r 线性无关的解就是基础解系。 ⑤ 基础解系中 n r 个向量的线性组合就是所求的通解。 【例 1】求下列齐次方程组的一个基础解系 x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0 2x1 x1 x2 x2 3 3 x3 x3 2 5 x4 x4 5 x5 0 x5 0 3x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0 解： 1 1 1 4 3 1 1 1 4 3 1 1 1 4 3 1 0 2 1 2 1 3 5 5 0 1 1 3 1 0 1 1 3 1 0 1 1 3 A 1 1 3 2 1 0 2 2 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 5 6 7 0 2 2 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0RREF 0 主元为 x1 , x2 对应的列，选非主元 x3 , x4 , x5 为自由未知量，它们所在的行对应乘以主元 x1 , x2 的系数（恒等于 1）的负值，即为三个解向量 1 , 2 , 2 的 x1, x2 坐标的值，由于原 方程有 5 个未知数，故需要用单位向量 E3 的三列分别补上 x3 , x4 , x5 的位置，则基础解系 为： T T x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 2 1 1 0 0 T T x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 3 0 1 0 T T x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 2 1 0 0 1 评 注 如果 A 化成一般阶梯形时，求解很方便，就没必要继续化为简化行阶梯形，而利 用等价方程组直接求出基础解系。上述方法还是求矩阵特征向量（对应某一特征值）的基本步骤，望读者务必掌握， 【例 2】再次让你掌握其精髓。 【例 2】求下列齐次方程组的通解： 2 x1 4x2 5 x3 3 x4 0 3 x1 6 x2 4x3 2 x4 0 解： 4 x1 8 x2 1 7x3 1 x14 0 1 2 0 2 2 4 5 3 1 2 1 1 7 A 3 6 4 2 只能行变换 0 0 1 5 只能行变换 5 00 0 0 1 0 0 0 4 8 17 11 0 0 0 0 0 R R E F 在上述的 RREF 中，有两个主元 x1 和 x3 ，主元的个数就是秩 R A 2 ，解向量有 n R A 2 2 个基础解，又由于有 4 个未知数，故使用 E2 的两列  1 0 和 分别补 0 1 上 x2 和 x4 的位置，最后所求的基础解系如下： x1 2 x2 1 x, x , 0 2 x 5 5 x4 0 x4 7 7 1 2 2 2 x1 7 x2 0