第十章分析和总结.docxVIP

第十章 定积分的应用 (14 学时) §1 平面图形的面积 教学目的要求: 能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积. 教学重点难点: 重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积 .难点是参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算. 学时安排: 2 学时教学过程: ? b f ( x )dx 一、积分 a 的几何意义 ? b f ( x )dx 我们讲过，若 f ? C [ a , b ] 且 f ( x ) ? 0 ，则定积分 a 表示由连线曲线 y=f(x)， 以及直线 x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当 ? b f ( x )dx a  0 时，定积分表示的是负面 积 ， 即 ? b f ( x )dx a  表 示 的 是  在 [a,b] 上 的 正 负 面 积 代 数 和 。 例 如 ??5 ? ? ? 2 sin xdx ? ( ? sin xdx ?  5 ? ?2 sin xdx ) ? ? ? 2 ?  sin xdx ? 3 ? 2 ? 1 5 ? 0 0 2 ? ? 5?2? 5? 2 。若计算 sinx 在[0， 2 ] 2 ? ? sin x dx ? ( ? sin xdx ? ? 2 sin xdx ) ? ? sin xdx ? 3 ? 2 ? 5 上的面积，则变为 0 0 2 ? ? 。 二、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 b由几何意义得 S ? ? b a f ( x )dx ? ? b g ( x )dx ? a ? b [ f ( x ) ? g ( x )]dx a  ，该式当 f(x)和 g(x)可判 断大小的情况下适合，但 f(x)和 g(x)无法判断大小时，要修改为 S ? ? b | f ( x ) ? g ( x ) | dx 。 a 1 2 1 2如 果 f(x) 和 g(x) 有 在 积 分 区 域 [a,b] 内 交 点 ， 设 为 x , x ， 且 x ? x ， 1 2 1 2 S ? ? b | f ( x )? a g ( x ) | d?? x2 | f ( x ?) xx x 1 ( x ) |d x 。所以此时求 f(x)和 g(x)在[a,b]上的面积， 即为 f(x)和 g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例 1、求y ? x 2 ， x ? y 2 所围的面积 S。 例 2、求y ? sin x 、 y ? cos x 在[0, 2? ] 上所围图形的面积。 例 3、已知 y ? a x2 b x通过点 (1,2) 与 y ? ? x 2 2 x 有个交点 x ? 0 ，又 a0，求 1y ? a x2 1 b x与 y ? ? x 2 2 x 所围的面积 S，又问 a,b 为何值时，S 取最小值？ 例 4、求抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x ? y ? 4 所围成的图形的面积。 例 5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为 l，底面是长轴为 a，短轴为 b 的椭圆，问油灌中油面高为 h 时，油量是多少？（已知油的密度为? ） 三、参数方程形式下的面积公式 ? x ? x (t ) ? 若所给的曲线方程为参数形式： ? y ? y (t ) （? ? t ? ? ），其中 y(x)是连续函数， ? x ? x (t ) ? x(t)是连续可微函数，且 x ?(t ) ? 0 且 x (? ) ? a ，x ( ? ) ? b ，那么由? y ? y (t ) ，x 轴及直线 x ＝a，x＝b 所围图形的面积 S 的公式为 ? x ? a (t ? sin t ) ? S ? ? ? | y | dx (t ) ? 。（? ? ? ） 例 1、求旋轮线： ? y ? a (1 ? cos t ) （a0）一个拱与 x 轴所围的图形的面积。 ? x ? a cos t ? 例 2、求椭圆? y ? b sin t （a0，b0）的面积 S。 四、极坐标下的面积公式 设曲线的极坐标方程是：r ? r (? ) ，? ? ? ? ? ，r (? ) ? C [? , ? ] ，则由曲线r ? r (? ) ， 射线? ? ? 及  ? ? ? S ? 1 ? ? r 2 (? )d ? 所围的扇形面积 S 等于 2 ? 。 例 1、求双纽线 r 2 ? 2 a 2 cos 2? 所围图形面积 S。 ? 例 2、求由 r ? sin 2 3 ， 0 ? ? ? 3? ，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积 S。 例 3、求三叶形成曲线 r ? a