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第十一章 反 常 积 分 (14 学时 ) § 1 反常积分概念 教学目的要求：深刻理解反常积分的概念。教学重点难点：反常积分的含义与性质 学时安排: 4 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: — 问题的提出: 例（P264）. 二 两类反常积分的定义 定义 1. 设函数在极限 定义在无穷区间 上，且在任何有限区间 上可积，如果存 （1） 则称此极限J 为函数 在 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 发散. ,并称 收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称 定义 2. 设函数 定义在 上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区 间 上有界且可积，如果存在极 则称此极限为无界函数 在 上的反常积分，记作 ，并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 发散. 例 1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 . ⑵ 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ; ⑵ . 例 3 讨论积分 的敛散性 . 例 4 判断积分 的敛散性 . 例 5 讨论瑕积分 的敛散性 ,并讨论积分 的敛散性 . 三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设 , 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 . §2. 无穷积分的性质与收敛判定 教学目的： 深刻理解反常积分敛散性的含义。教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 学时安排: 4 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: — 无穷积分的性质 ⑴ 在区间 上可积 , — Const , 则函数 在区间 上 可积 , 且 . ⑵ 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 且 . ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: 定理 11.1 积分 收敛 . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 . 二 比较判别法 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有积分敛散性记法. ↗. 非负函数无穷 ⑴ 比较判敛法: 设在区间 上函数 和 非负且 ， 又对任何 , 和 在区间 上可 积 . 则 , ； , . 例 1 判断积分 的敛散性. 推论 1 （比较原则的极限形式）: 设在区间则 上函数 , . ⅰ , 与 共敛散 : ⅱ , 时, ； ⅲ , 时, . ( 证 ) 推论 2 （Cauchy判敛法）: ( 以 为比较对象, 即取 .以下 0 )设对任何 , , 且 , ；若 且 , . Cauchy判敛法的极限形式 : 设 . 则 是在任何有限区间 可积的正值函数. 且 ⅰ ； ⅱ . ( 证 ) 例 2 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ ⅱ 三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法: Abel 判敛法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛. Dirichlet判敛法: 设 在区间 上有界， 在 上单 调，且当 时， .则积分 收敛. 例 3 讨论无穷积分 与 的敛散性. 例 4 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . 例 5 ( 乘积不可积的例 ) 设 , 由例 6 的结果, 积分 。 收敛 . 但积分 却发散. §3 瑕积分的性质与收敛判别 教学目的： 熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。 学时安排: 2 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限 的原意写出相应的命题. 定理 11.2 ( 比较原则 ) P277 Th11.6. 系 1 ( Cauchy 判别法 ) P277 推论 2. 系 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ) P277 推论 3. 例 1 判别下列瑕积分的敛散性 : ⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵ . 例 2 讨论非正常积分 的敛散性. 注记. C—R 积分与 R 积分的差异: R , 在 上 ; 但 在区间 上可 积 , 在区间 上有界 . 例如函数 R , | | R ,但反之不正确. R 积分是绝对型积分. | |在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 但反之不正确. C—R 积分是非绝对型积分. , R , R ; 但 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积. 可见, 在区间 上可积 , 在区间 上可积.