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(完整版)解三角形题型总结 解三角形题型分类解析 1、正弦定理及其变形 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C (R为三角形外接圆半径） a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式） sin A ? a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R (角化边公式） （3）a : b : c ? sin A :sin B :sin C a (4) ? sin A , a ? sin A , b ? sin B b sin B c sin C c sin C 做题大法： a 边化角：遇到分式或等式如  ? sin A , a ? b ? sin A ? sin B (切记必须为齐次式，高考常考点） b sin B 思考：若a 2 ? bc ?是?否?可化?为? sin 2 A ? sin B sin C 是否可行 角化边形如这样的分式或等式sin A ? a , sin A ? sin B ? a ? b sin B b a b c a ? 2R sin A b ? 2R sin B 思路总结： ? ? ? 2R ? sin A sin B sin C c ? 2R sin B 此为以上转换依据 2、正弦定理适用情况： （1)已知两角及任一边； （2)已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知 a，b 和A，不解三角形,求B 时的解的情况： 第 1 页 共 18 页 (完整版)解三角形题型总结 如果 sinA≥sinB，则 B 有唯一解；如果 sinAsinB〈1,则 B 有两解； 如果 sinB=1，则 B 有唯一解；如果 sinB〉1，则 B 无解. 3、余弦定理及其推论  cos A ?  b2 ? c2 ? a2 2bc a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C cos C ? a2 ? c2 ? b2 2ac a2 ? b2 ? c2 2ab 4、余弦定理适用情况： （1)已知两边及夹角； （2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1) S  ?ABC ? 1 ? 底?高； 2 （2） S  ?ABC ? 1 ab sin C ? 2 1 bc sin A ? 2 1 ca sin B （两边夹一角）； 2 6、三角形中常用结论 （1） a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） (2） 在?ABC中，A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角，大角对大边） （3)在△ABC 中,A+B+C=π，所以 sin（A+B)=sinC；cos（A+B）=－cosC； tan（A+B）=－tanC。sin A ? B C ? cos , cos A ? B C ? sin 2 2 2 2 分类题解： 类型一：正弦定理 1、计算问题: 例 1、 （2013 北京）在△ABC 中，a=3,b=5，sinA= ，则 sinB= 第 2 页 共 18 页 (完整版)解三角形题型总结 例 2、 已知? ABC 中， ? A? 60? ， a ? 3 ,则 a ? b ? c = ． sin A ? sin B ? sin C 例 3、在锐角△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c,且 2asinB= b． 求角 A 的大小； 2、三角形形状问题 例 3、 在?ABC 中,已知a, b, c 分别为角A，B，C 的对边， 1) a ? cos A 试确定?ABC 形状。 b cos B cos B 2）若 ? ，试确定?ABC 形状. cos A 在?ABC 中，已知a 2 tan B ? b 2 tan A ,试判断三角形的形状. 第 3 页 共 18 页 (完整版)解三角形题型总结 (完整版)解三角形题型总结 PAGE 4 PAGE 4 第 页 共 18 页 已知在?ABC 中， b sin B ? c sin C ，且sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ，试判断三角形的形状。 例 4、(2016 年上海）已知?ABC 的三边长分别为 3,5，7,则该三角形的外接圆半径等于 类型二：余弦定理 1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在△ABC 中， 若a2 ? b2 ? c2 ,则角C 是直角; 若a2 ? b2 ? c2 ,则角C 是钝角; 若a2 ? b2 ? c2 ,则角C 是锐角． 例 1、在△ABC 中，若 a 9