八年级数学上册 13.4《课题学习 最短路径问题》知识深化 从等腰三角形的一个性质淡起素材 （新版）新人教版.docVIP

PAGE 1 可修改 欢迎下载 从等腰三角形的一个性质谈起 性质：假设D位于等腰三角形ABC底边BC上一点，那么AD2=AB2-BD·DC． 　　证明：过A作AE⊥BC，垂足E(图1)． 　　∵ BD·DC =(BE-DE)(EC+DE) 　　=(BE-DE)(BE+DE)=BE2-DE2 　　=AB2-AE2-DE2=AB2-AD2， 　　∴ AD2=AB2-BD·DC． 　　假设D在BC延长线上那么AD2=AB2+BD·DC．(证略)． 　　本文将此性质推广到一般三角形中． 　　定理 ：△ABC中，AB＞AC，D是BC上一点，那么： 　　 　　证明：将△ABC补成一等腰△ABE(图2)． 　　由性质得： 　　AD2=AB2-BD· DE=AB2-BD(DC+CE)． 　　 　　　 　　说明： 　　①当 AB=AC 时，就得前面已证的结果，同理可证：当AB＜AC时，AD2=AC2- 　　②假设D为BC中点时，那么得到中线长公式． 　　③假设AD为角平分线，那么得角平分线长公式． 　　 　　(Stewart)定理，故上述定理可视为Stewart定理的变形． 　　这个定理可以解某些国内外竞赛题． 　　例1 △ABC中，AB＞AC，AE平分∠A且交BC于E，在BC上有一点S，使BS=EC，求证：AS2-AE2=(AB-AC)2，如图 3(1979年江苏数学竞赛题)． 　　证明： ∵ BS=EC，∴BE=SC． 　　又 ∵ AE是∠A的平分线，由角平分线性质得： 　　　 　　 　　　 　　①-②得 　　　 例2 在直角平分线上取一定点P，过P点的一直线截角的边长为a，b的两条 克竞赛题) 　　证明：不失一般性，设a≥b，(图4)． 　　 　　由角平分线性质得：