线性代数（第五版）（全套课件）.ppt

线性代数（第五版） 第一章 行列式 内容提要 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 §1 二阶与三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 二、三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 一、概念的引入 二、n 阶行列式的定义 §4 对换 一、对换的定义 二、对换与排列奇偶性的关系 三、小结 §5 行列式的性质 一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结 §6 行列式按行(列)展开 §7 克拉默法则 第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 分块对角矩阵 定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， 其余子块都为零矩阵， 对角线上的子块都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵． 例如： 分块对角矩阵的性质 | A | = | A1 | | A2 | … | As | 若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 知识点回顾：克拉默法则 §1 矩阵的初等变换 一、矩阵的初等变换 备注 带有运算符的矩阵运算，用“ = ”．例如： 矩阵加法 ＋ 数乘矩阵、矩阵乘法 × 矩阵的转置 T（上标） 方阵的行列式 |?| 不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如： 初等行变换 初等列变换 二、矩阵之间的等价关系 三、初等变换与矩阵乘法的关系 全册完 定理：若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把 矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 该矩阵的秩． 例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式． 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 ，则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从 中同时看出R(A)及 R(B) ． 例：设 ，求矩阵 A 及矩阵 B = (A, b) 的秩． 解： R(A) = 2 R(B) = 3 矩阵的秩的性质 若 A 为 m×n 矩阵，则 0≤R(A)≤min(m, n) ． R(AT) = R(A) ． 若 A ~ B，则 R(A) = R(B) ． 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) ． max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B) ． 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)≤R(A, b)≤R(A)＋1 ． R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ． R(AB)≤min{R(A), R(B)} ． 若 Am×n Bn×l = O，则 R(A)＋R(B)≤n ． 例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 附注： 当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵． 特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵． 本题中，当 C = O，这时结论为： 设 AB = O，若 A 为列满秩矩阵，则 B = O ． 例：设 A 为 n 阶矩阵， 证明 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 证明：因为 (A＋E)＋ (E－A) = 2E， 由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B) ”有 R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E) = n ． 又因为R(E－A) = R(A－E)，所以 R(A＋E)＋R(A－E)≥n ． 例：若 Am×n Bn×l = C，且 R(A) = n，则R(B) = R(C) ． 解：因为 R(A) = n， 所以 A 的行最简形矩阵为 ， 设 m 阶可逆矩阵 P ，满足