高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理（含答案）.pdfVIP

专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问 题与其他 一些实际问题． 1．平面向量的数量积 θ θ (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则数量|a||b|cos__ 叫作a与b θ 的数量积(或内积)，记作a ·b，即a ·b＝|a||b|cos__ ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即0 ·a＝0. θ (2)几何意义：数量积a ·b等于a 的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cos__ 的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 θ 设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )， 为向量a，b 的夹角． 1 1 2 2 θ (1)数量积：a ·b＝|a||b|cos ＝xx ＋yy . 1 2 1 2 2 2 (2)模：|a|＝ a ·a＝ x ＋y . 1 1 a ·b xx ＋yy θ 1 2 1 2 (3)夹角：cos ＝ ＝ . |a||b| 2 2 2 2 x ＋y · x ＋y 1 1 2 2 (4)两非零向量a⊥b 的充要条件：a ·b＝0⇔xx ＋yy ＝0. 1 2 1 2 2 2 2 2 (5)|a ·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|xx ＋yy |≤ x ＋y · x ＋y . 1 2 1 2 1 1 2 2 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b＝b ·a(交换律)． λ λ λ (2) a ·b＝ (a ·b)＝a ·( b)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a ·c＋b ·c(分配律)． 4．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂 直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理： a∥b(b≠0)⇔a＝ λb⇔x y －x y ＝0． 1 2 2 1 (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b⇔a ·b＝0⇔xx ＋yy ＝0(a，b均为非零向量)． 1 2 1 2 (3)求夹角问题，利用夹角公式 a ·b xx ＋yy θ 1 2 1 2 θ cos ＝ ＝ ( 为a与b 的夹角)．